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课件网) 第3章 函数的概念与性质 湘教版必修第一册 章末总结 专题1 函数模型的应用 例1 已知函数对任意实数均有,其中常数为负数，且 在 区间上有表达式 . （1）求， 的值； 【解析】 . , . （2）写出在上的表达式，并讨论函数在 上的单调性； 【解析】 对任意实数, , ， . 当时，, ; 当时，， ; 当时，, . 综上， 图3-1 由,可作出 的大致图象如图 3-1所示,观察图象知 在和上单调递增，在 上单调递减. （3）求出在 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. 【解析】由函数在上的单调性可知，在或 处取得最小值， 易得， . 在或处取得最大值，易得， . 当时，在处取得最小值，最小值为,在 处取得 最大值，最大值为 ; 当时，在与处取得最小值，最小值为 ,在 与处取得最大值，最大值为 ; 当时，在处取得最小值，最小值为,在 处取得最 大值，最大值为 . 例2 画出函数的图象,写出函数的单调区间,并求出函数在 上的值域. 图3-2 【解析】 . 设，则 ,根据函数图象平移变换 的规则知，将函数 的图象先向右平移3个单位长度，再 向下平移2个单位长度，即得函数 的图象，如图3-2所示. 由图象知，函数的单调递增区间是和 . 由于函数在上单调递增，且当时， , 当时， , 故函数在上的值域是 . 例3 求下列函数的值域： （1） ; 【解析】 , 令,则,且 , 易知在 上单调递增， . 故所求函数的值域为 . （2） . 【解析】,而函数在 上单调递增， , ,且 . 故所求函数的值域为 . 专题2 函数性质的综合应用 例4 (2024·浙江省湖州市期中)函数是奇函数，且当 时， 函数单调递增，若，则不等式 的解集为_____ _____. 或} 【解析】因为是奇函数，且,在 上单调递增，所以 ,且在 上单调递增. 所以不等式 可化为 或 即或 , 解得或 . 所以原不等式的解集是或 }. 例5 (2024·上海市浦东新区期中)设，，是定义域为 的三个函数，对于 下面两个说法：，，均是增函数，则 ， ，中至少有一个增函数；②若，， 均是 以为周期的函数，则，，均是以 为周期的函数.下列判断正确的是 ( ) D A.①和②均正确 B.①和②均不正确 C.①正确，②不正确 D.①不正确，②正确 【解析】①不正确．可举反例： 满足, , 均为增函数，但,, 都不是增函数，故①不正确. ②正确.， ， ，前两式作差可得 ，结合第三式可得 ， ，同理可得 ，因此②正确． 例6 (2021·全国甲卷)设函数的定义域为，为奇函数， 为偶函 数，当时,.若，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由于为奇函数，所以函数的图象关于点 对称，即有 ， 所以，得，即 ①. 由于为偶函数，所以函数的图象关于直线 对称，即有 ， 所以 ②. 根据①②可得, ， 所以当时， . 得,所以 ， ，可得函数 的周期为4， 所以 . 例7 (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知函数的定义域为 ,且 ,,则 ( ) A A. B. C.0 D.1 【解析】因为，所以在中，令 ，得 ， 所以 ①， 所以 ②. 由①②相加，得，故 ，所以 ， 所以，所以函数 的一个周期为6. 在中，令,，得 ， 所以 . 令,，得，所以.由 ， 得，， ， ，所以 ，根据 函数的周期性知， . 例8 已知定义在上的奇函数满足，且在区间 上单调递增， 则( ) D A. B. C. D. 【解析】满足 ， ， 函数是以8为周期的周期函数，则 ， ， . 又是定义在上的奇函数，且满足 ， . 在区间上单调递增，在上是奇函数，在区间 上单调递增， ，即 . 命题点1 求函数的值或最值 例9 (2023·全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知是定义在 上的函数，且对任意 实数,均有，则 的值为__． 【解析】对任意实数,均有 ， 令可得 ， 令可得 ， 联立可得： . 对于 ， 令，有 ， 而，则有 ， 再令，有 ， 可得 ． 例10 (2022·北京大学强基计划)已知是二次函数， ，且 ，则 ____. 36 ... ...
