(
课件网) 第5章 三角函数 湘教版必修第一册 章末总结 专题 三角函数图象的对称问题 例1 函数 的图象的一条对称轴的方程是( ) A A. B. C. D. 【解析】方法1 函数图象的对称轴方程为 )．令 ，即， ， 图象的对称轴方程为 ①.当时， ， 即直线为函数图象的一条对称轴．而B，C，D中的值代入①后，没有整数 与之对应．综上应选A． 方法2函数图象的对称轴方程为 )．将 ，代入上式，得 ②.当时， ，即直线 为函数图象的一条对称轴.而B，C，D中的值代入②后，没有整数 与之对 应．综上应选A． 方法3 ，函数 图象的对称轴方程为， 当时， ，即直线 为函数图象的一条对称轴.而B，C，D中的值代入③后，没有整数 与之对 应．综上应选A． 例2 已知函数是 上的偶函数，其图象关 于点对称，则函数 的解析式为_____． 【解析】 函数是 上的偶函数， 或， )． ,， ． 函数的图象关于点 对称， ，即，则 ， 解得 . 又，，， . 例3 (2024·四川省宜宾市叙州区二中月考)函数 的图象关 于直线对称，则 可以为( ) C A. B. C. D.1 【解析】方法1 函数的图象关于直线 对称，所以 ，故，解得 ，当 时， ．而A，B，D的值取不到，故选C. 方法2 因为函数的图象关于直线对称，所以 ，所以 ，结合选项可知选C. 例4 已知函数的图象的一个对称中心为点 ，则满足条件的 绝对值最小的 值为____. 【解析】方法1 因为点是 的图象的一个对称中心，则有两 种情况： ，则 ,，得,.当 时， 的绝对值最小，此时 . 不存在，则，，得， . 当时，，此时 的绝对值最小. 综上，满足条件的绝对值最小的 值为 . 方法2 函数图象的对称中心为,.令 ,即 , ,当时上式成立，代入可得,,当时， ，此 时 的绝对值最小. 例5 图5-1是函数 的部分图象，则这个函数 的解析式为_____. 图5-1 【解析】方法1 （最值法） 由图象知,, . , , . 将最高点代入 ， 得 , ，,， ， 又， . . 方法2 （五点对应法） 由图象知,由图象过点和 ,根据五点对应法 （以上两点可看作是五点对应法中的“第三点”和“第五点”），得 解 得 . 方法3 （代入法） 同方法1，得, . 又 是该函数图象上的一点， , ,,即, . 又，. . 方法4 （平移法） 同方法1，得, . 函数图象经过点 , 该函数的图象可由的图象向左平移 个单位长度得到， ,即 . 方法5 （单调性法） 同方法1，得,.由图象知， 处于曲线的递减部分， , . 由,得 ， , ,.又, . . 方法6 （平衡点法） 同方法1，得,.由图象知， 是距原点最近的且处 于曲线递增部分的平衡点的横坐标， , . 命题点1 化简求值 例6 (2023·全国高中数学联赛江西赛区预赛)若锐角，， 满足 ,则 的最小值是___. 【解析】因为 ,所以 . 由 , 当且仅当, 时，等号成立. 命题点2 三角函数的图象与性质 例7 (2023·北京大学强基计划)函数,,在 上的最大 值是_ __. 图5-2 【解析】作出函数, , 的图象，如图5-2所示，则函 数,,在 上取最大值时，，即 , . 例8 (2023·厦门大学强基计划)已知,,求 在 上所有根的和. 图5-3 【解析】因为,所以 的图象关于 点中心对称,而函数 的图象也 关于该点中心对称,在同一直角坐标系内作 出, 的图象，如图5-3所示. 由数形结合思想可知，这两个函数图象有8个交点,即共有四对关于 中心对称的点， 所以方程在上所有根的和为 . 例9 (2022·北京大学寒假学堂)下列选项中不是函数 图象的对称轴方程的是( ) B A. B. C. D.以上选项都不正确 【解析】因为 ， 则,则和都是 图象的对称轴方程, 而,则不是 图象的对称轴方程. 故选B. 谢谢 21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 兼职招聘： https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin ... ...
