九年级数学上点拨与精练 第24章圆24.1专题 构造圆的基本性质的基本图形的常用辅助线（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 九年级数学上点拨与精练 第24章 圆 24.1 专题 构造圆的基本性质的基本图形的常用辅助线 老师告诉你 用圆的有关性质解题的常用方法是将圆的有关问题转化为三角形问题求解，解题时需要根据图形的特征，作出相对应的辅助线，在图形中构造等腰三角形、直角三角形、全等三角形。 若题中求半径长或弦的有关问题，常连半径构造等腰三角形或全等三角形。 若题中求弦长、圆心到弦的距离，半径长，通常常连半径或作垂直于弦的线段构造直角三角形。 若题中有直径，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，把问题转化到直角三角形中。 技巧1 连半径构造等腰三角形 典例剖析1 例1．如图,AB是的直径,弦CD与AB交于点E,且E是CD的中点. (1)求证：； (2)若,,求的半径. 针对训练1 1．如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数. 2．如图，AB为的直径，CD是的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知，，求的度数. . 3．如图，内接于，AF是的弦，，垂足为D，点E为弧BF上一点，且. （1）求证：AE是的直径. （2）若，，求AC的长. 技巧2连半径构造直角三角形 典例剖析2 例2．如图，内接于，，交交 O于点A，连接，则的度数为（ ） A． B． C． D． 针对训练2 1．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点D，于点E． (1)求证：． (2)若，求长． 3．如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米． (1)求该圆弧所在圆的半径； (2)在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度． 技巧3连半径构造全等三角形 典例剖析3 例3 .如图,在中,AB是弦,C、D两点在AB上,且.求证:是等腰三角形. 针对训练3 1．如图，，D，E分别是半径OA，OB的中点.求证：. 2．如图，在中，点C是优弧ACB的中点，D,E分别是OA,OB上的点，且，弦CM,CN分别过点D,E. （1）求证：. （2）求证：. 3．如图，AB，CD为的两条直径，点E，F在直径CD上，且.求证：. 技巧4作垂直于弦的直径构造直角三角形 典例剖析4 例4．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 针对训练4 1．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 2．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 技巧5作直径所对的圆周角构造直角三角形 典例剖析5 例5．如图,是的直径,点C,D,E在上,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 针对训练5 1．如图，是的直径，，则的度数为( ) A. B. C. D. 2．如图所示,是的直径,弦交于点E,连接,,若,则的度数是( ) A. B. C. D. 3．如图,AB为的直径,,则的度数为( ) A.80° B.75° C.70° D.65° 4．如图,AB是的直径,点C,D,E在⊙O上,若,则的度数为_____. 技巧6作直角所对弦（直径）构造直角三角形 典例剖析6 例6．如图，正方形ABCD内接于，在劣弧AB上取一点E，连接DE,BE，过点D作交于点F，连接BF,AF，且AF与DE相交于点G. 求证：（1）四边形EBFD是矩形； （2）. 针对训练6 1．正方形内接于,如图所示,在劣弧上取一点,连接、,过点作交于点,连接、,且与相交于点,求证: （1）.四边形是矩形; （2） . 2.如图，在Rt ABC中，AB⊥B ... ...