九年级数学上点拨与精练 第24章圆24.2 阶段方法专训证明圆的切线的七种常用方法（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 九年级数学上点拨与精练 第24章 圆 24.2 阶段方法专训 证明圆的切线的七种常用方法 老师告诉你 证明一条切线是圆的切线的方法及辅助线作法 连半径，证垂直 当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径。简称“连半径。证垂直”。 作垂直，证半径 当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”。 类型一 有公共点：连半径证垂直 方法一 勾股定理逆定理法证垂直 典例剖析 例1．如图，点是上一点，点在直径的延长线上，的半径为3，，．求证：是的切线． 解题策略：题中给出相关线段长度证明切线时，考虑利用勾股定理的逆定理证垂直 针对训练1 1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝4，PB＝2，AB＝6，求证：PC是⊙O的切线． 2．如图，C是上一点，点D在直径的延长线上，的半径为6，，．求证：是的切线． 方法二 特殊角计算法证垂直 典例剖析 例2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°． （1）判断CG与圆O的关系，并说明理由； （2）若CD=6，求线段GF的长度． 解题策略：有特殊角时通过计算特殊角的和差证直角，证明垂直 针对训练2 1．已知：如图是圆O的直径，点D在的延长线上，，点C在圆上，，求证是圆O的切线． 2．如图，在中，为的直径，为弦、，． (1)求的度数； (2)在图（1）中，P为直径的延长线上一点，且，求证：为的切线． 方法三 等角代换法证垂直 典例剖析 例3．如图，点D为圆O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CAD＝∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的长． 解题策略：题目中有相等角时用相等角转换找角的和差证垂直，从而证明切线。 针对训练3 1．如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，． (1)求证：直线是的切线； (2)已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接． ①求的度数； ②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度． 2．如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)作的角平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求的长． 方法四 平行线性质法证垂直 典例剖析 例4．如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过点D作的垂线，垂足为E． (1)求证：与相切； (2)请探究线段之间的数量关系，并说明理由． 解题策略：当条件中有平行线时，利用平行线的性质找等角，寻找切线的判定的条件。 针对训练4 1．如图，为直径，点为上一点，平分，，垂足为，交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的直径． 2． 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 方法五 全等三角形法证垂直 典例剖析 例5．如图，切于点，点在上，且．求证：是的切线． 解题策略：当条件中有切线，证明另一条切线，直线与圆的交点明确，考虑利用切线的性质构造全等三角形证明角相等。 针对训练5 1．如图，在中，，以为直径作为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 2．综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 类型二无公共点：作垂直，证半径 方法六 角平分线性质法证半径 典例剖析 例6．如图，在中，，是的角平分线，以为圆心 ... ...