专题三 勾股定理的常见模型及其应用 【知识点】 1. 直角三角形中的常见模型： 毕达哥拉斯树、梯子问题、折叠问题、直角三角形中的特殊线. 直角三角形斜边上的中线 (1) 直角三角形斜边上的高 t 2. 最短路线问题： 一般地，求“最短路线”要把“立体问题”转化为“平面问题”，再利用“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”以及“勾股定理”的有关知识解决问题. 在将几何体的表面展开时，要注意确定展开图中两点的相应位置. 另外，由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况. 因此，有些问题可能会求得几个不同的结果，这就需要通过分析比较选出合适题意的答案。 题型1 毕达哥拉斯树 【例1】如图所示是一种“羊头形”图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②，正方形②， 以此类推. (1) 探索正方形①与正方形②(或与正方形②')边长的数量关系；正方形②与正方形③(或与正方形③')边长的数量关系……它们的数量关系有怎样的规律性 (2) 正方形①与正方形n(或与正方形n')边长的数量上有何关系 若正方形①的边长为a，则正方形n(或正方形n')边长该如何表示 (3) 若正方形⑦的边长为1cm，则正方形①的边长多长 举一反三。 1. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值. 如图所示，是一棵由正方形和含 角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S ，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S ，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为 设第一个正方形的边长为1. 请解答下列问题： (2) 通过探究，用含n的代数式表示 Sn，则. 题型2 梯子问题 【例2】如图所示，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7m. 当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m. 则小猫在木板上爬动了多少 举一反三。 2. 如图所示，一架梯子长25m，底端离墙7m，斜靠在墙上. 若梯子的顶端下滑了4m. 梯子的底端滑动了多少 题型3 直角三角形斜边上的高与边的关系探究 【例3】如图所示，在 中， 于点 D, 设 CD=h. 求证： (2) a+b
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