2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--10.3　复数的三角形式及其运算

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学必修第四册 第十章　复数 *10.3　复数的三角形式及其运算 基础过关练 题组一　复数的三角形式与辐角主值 1.(2024福建永春第一中学月考)复数z=-sin+icos的辐角主值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.复数-+i化成三角形式为　　　　. 3.复数z=-1+的辐角主值为　　　　. 4.下列各式是不是三角形式 若不是,化为三角形式. (1)z1=-2(cos θ+isin θ); (2)z2=cos θ-isin θ; (3)z3=-sin θ+icos θ; (4)z4=-sin θ-icos θ; (5)z5=cos 60°+isin 30°. 题组二　复数三角形式的乘、除运算 5.已知i为虚数单位,z1=(cos 60°+isin 60°),z2=2(sin 30°-icos 30°),则z1z2=　(　　) A.4(cos 90°+isin 90°)　　　　B.4(cos 30°+isin 30°) C.4(cos 30°-isin 30°)　　　　D.4(cos 0°+isin 0°) 6.(2024江苏徐州第七中学月考)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)(r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:[r(cos θ+isin θ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)](n∈Z),我们称这个结论为棣莫弗定理.则=(　　) A.1　　　　B.22 022　　　　C.-22 022　　　　D.i 7.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是(　　) A.±i　　　　B.-±i C.±+i　　　　D.±-i 8.设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α和β,则α+β等于(　　) A.135°　　　　B.315° 　　　　C.675°　　　　D.585° 9.计算:=　　　　. 题组三　复数乘、除法的几何意义及应用 10.(2022上海建平中学期末)设复数z满足条件arg z∈,则在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　　D.第四象限 11.(2024上海建平中学期中)在平面直角坐标系中,设O是坐标原点,向量=,将绕O点顺时针旋转得到向量,则点B的坐标是　　　　. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C　因为-sin<0,cos>0, 所以z=-sin+icos的辐角主值为arctan+π=-+π=π.故选C. 2.答案　2 解析　如图, ∵=2,cos θ=-,∴θ=, ∴-+i=2. 3.答案　 解析　因为=i,所以=i2 021=i, 所以z=-1+i=, 所以复数z的辐角主值为. 4.解析　(1)由“模非负”知,不是三角形式. z1=-2(cos θ+isin θ)=2(-cos θ-isin θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]. (2)由“加号连”知,不是三角形式. z2=cos θ-isin θ=cos(-θ)+isin(-θ)或z2=cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ). (3)由“余弦前”知,不是三角形式. z3=-sin θ+icos θ=cos+isin. (4)不是三角形式. z4=-sin θ-icos θ=cos+isin. (5)不是三角形式. z5=cos 60°+isin 30°=+i=(1+i)=. 方法点拨　由三角形式的结构特征,确定判断的依据和变形的方向时,可按照如下步骤进行:首先确定复数z在复平面内对应的点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角,此步骤可简称为“定点→定名→定角”,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率. 5.D　∵z2=2(sin 30°-icos 30°)=2(cos 300°+isin 300°),∴z1z2=(cos 60°+isin 60°)×2(cos 300°+isin 300°)=4(cos 360°+isin 360°)= 4(cos 0°+isin 0°),故选D. 6.B　1-i=2=2, ∴=22 022[cos(-674π)+isin(-674π)]=22 022.故选B. 7.D　∵-i=cos+isin,∴-i的立方根为cos+isin(其中k=0,1,2). 当k=0时,得cos+isin=i; 当k=1时,得cos+isin=--i; 当k=2时,得cos+isin=-i.故选D. 8.C　(2-i)(3-i)=(cos α+isin α)×(cos β+isin β)=5[cos(α+β)+isin(α+β)]. (2-i)(3-i)=5-5i=5[cos(315°+k·360°)+isin(315°+k·360°)](k∈Z), 故α+β=315°+k·360°(k∈Z). ∵α,β分别为复数2-i和3-i的辐角主值, ∴270°<α<360°,270°<β<360°, ∴540°<α+β<720°,∴α+β=675 ... ...