八年级《最短路径》解答题专项练习（一）（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 八年级《最短路径》解答题专项练习（一） 1．已知：在平面直角坐标系中，任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），其两点之间的距离公式为．如：已知A（1，5），B（﹣3，6），则AB．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．如：已知A（0，5），B（0，﹣6），则AB＝|（﹣6）﹣5|＝11． （1）若点A的坐标为（4，6），点B的坐标为（4，2），点C的坐标为（1，2）则AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　； （2）若点A的坐标为（3，1），点B的坐标为（6，3），点P是x轴上的动点，求出AP+PB的最小值； （3）已知一个三角形各顶点坐标为D（2，4），E（﹣2，2），F（3，2），请判断此三角形的形状，并说明理由． 2．如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为2km和7km，且A、B两村相距13km． （1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； （2）若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 3．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （l）已知点A（4，4），B（1，0），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为﹣2，试求A，B两点间的距离； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 4．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高． （1）若∠ABC＝∠ACB＝15°，请证明：； （2）若∠ABC＝30°，CD＝3，点E是BC边上的中点，求AC+AE的最小值． 5．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式M＝a2+4a+6，利用配方法求M的最小值： M＝a2+4a+6＝（a+2）2+2，∵（a+2）2≥0，∴当a＝﹣2时，代数式M有最小值为2． 再比如：正数a，b满足a+b＝3，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： （1）若代数式M＝a2+2a+b2﹣4b+8，求M的最小值； （2）已知正数x，y满足x+y＝7，求的最小值． 6．如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路m上修建一个车站P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置． 7．综合与实践 一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是2km和3km，AB＝x km．现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短． 数学小组设计了两种铺设管道的方案： （1）方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PA+AB（其中AP⊥l），d1＝　 　km（用含x的式子表示）． （2）方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA+PB（其中点B′与点B关于l对称，AB′与l交于点P）．为了计算d2的长，过点A作BB′的垂线，垂足是D，如图3所示，计算得d2＝　 　km（用含x的式子表示）． （3）归纳推理： ①当x＝4时，比较大小：d1　 　d2（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当x＝6时，比较大小：d1　 　d2 （填“＞”、“＝”或“＜”）． （4）方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？ 方法指导 当不易直接比较两个正数的大小时．可以对它们的平方进行比较． 要比较d1，d2的大小，比较，的大小即可． 当0时，d1﹣d2＞0，即d1＞d2． 当0时，d1﹣d2＝0，即d1＝d2． 当0时，d1﹣d2＜0，即d ... ...