八年级《最短路径》解答题专项练习（二）（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 八年级《最短路径》解答题专项练习（二） 1．综合与实践 【问题情景】 （1）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．设CD＝x，用含x的代数式表示AC+CE的长． 【数学思考】 （2）如图2，在某河道一侧有两家工厂A，B，它们到河道的距离AD，BC分别是5km，7km，两工厂之间的距离AB是7km．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P抽水，且使得抽水点P到两家工厂A，B的距离之和最短，求出PA+PB的最小值． 【深入探究】 （3）请结合（2）的思路，直接写出代数式（0≤x≤6）的最小值：　10　． 【思路点拔】（1）根据图1，利用勾股定理即可含x的代数式表示AC+CE的长； （2）作点A关于l的对称点A'，过点A'作A'E⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，推出PA+PB的最小值就是A'B的长，再利用勾股定理求出A'B的长即可； （3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案． 解：（1）∵BD＝8，CD＝x， ∴BC＝BD﹣CD＝8﹣x， ∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABC中， ∵AB＝5， ∴由勾股定理，得AC， 在Rt△EDC中， ∵DE＝1， ∴由勾股定理，得CE， ∴AC+CE； （2）作点A关于l的对称点A'，过点A'作A'E⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图， 则四边形ADCF，四边形DA'EC，四边形AA'EF都是矩形，PA'＝PA， ∴PA+PB＝PA'+PB≥A'B， ∴PA+PB的最小值为A'B， ∵AD＝5km，BC＝7km，AB＝7km， ∴EC＝A'D＝AD＝FC＝5km，BE＝BC+CE＝12km，BF＝BC﹣FC＝2km， 在Rt△ABF中， 由勾股定理，得AF（km）， ∴A'Ekm， 在Rt△A'BE中， 由勾股定理，得A'B（km）， ∴PA+PB的最小值为km； （3）构造图形如下，其中C为线段BD上点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，其中AB＝6，DE＝2，BD＝6．CD＝x， 则BC＝6﹣x，CE，AC， 连接AE， ∵AC+CE≥AE， ∴代数式（0≤x≤6）的最小值为AE的长， 过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F， 则四边形BDEF是矩形， ∴EF＝BD＝6，BF＝DE＝2， ∴AF＝AB+BF＝8， 在Rt△AEFG中， 由勾股定理，得AE10， ∴代数式（0≤x≤6）的最小值为10． 故答案为：10． 2．（1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n＝2，求的最小值．通过分析．小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB＝2，AC＝1，BD＝2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE＝m，BE＝n． ①用含m的代数式表示CE＝　　，用含n的代数式表DE＝　　； ②据此写出的最小值 　　； （2）【类比应用】根据上述的方法，求出代数式的最小值； （3）【拓展应用】已知a，b，c为正数，且a+b+c＝1，试运用构图法，直接写出的最小值 　　． 【思路点拔】（1）①根据图形，运用勾股定理即可求解；②根据勾股定理，最短路径的运用即可求解； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解； （3）构造边长为1的正方形，根据勾股定理即可求解． 解：（1）①根据题意，△ACE，△BDE都是直角三角形，∠A＝∠B＝90°， ∴在Rt△ACE中，AC＝1，AE＝m， ∴， 在Rt△BDE中，BD＝2，BE＝n， ∴， 故答案为：； ②如图所示，过点D所DG∥AB交CA延长线于点G， ∴AG＝BD＝2DG＝AE+BE＝AB＝2， 当点C，E，D三点共线时，有最小值， ∴， 在直角△CDG中，CG＝CA+AG＝1+2＝3，DG＝AB＝2， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2），， 如图所示，PQ⊥QR，QR⊥RS，PQ＝6，QR＝8，RS＝9，设QT＝x，则RT＝8﹣x， ∴，， 当P，T，S三点共线时，PT+TS的值最小， ∴根据（1）中的证明可得，PJ＝PQ+QJ＝6+9＝15，SJ＝QR＝8， ∴在直角△PJS中，， ∴的最小值为17， 故答案为：17； （3）∵a+b+c＝1，如图所示，作边长为1的正方形，在边上截取长 ... ...