八年级上册《等边三角形判定与性质》解答题专项练习（一）（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 八年级上册《等边三角形判定与性质》解答题专项练习（一） 1．如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形． 【思路点拔】本题中△ABC为等边三角形，∠ABC＝60°，求出∠M，∠N，∠G的值即可解决问题． 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°． ∵BC⊥MN，BA⊥MG， ∴∠CBM＝∠BAM＝90°． ∴∠ABM＝90°﹣∠ABC＝30°． ∴∠M＝90°﹣∠ABM＝60°． 同理：∠N＝∠G＝60°． ∴△MNG为等边三角形． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【思路点拔】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解：（2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 3．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD平分∠ABC， ∴ADAC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AEAB． 4．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF． 求证：△DEF是等边三角形． 【思路点拔】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵AD＝BE＝CF， ∴AF＝BD， 在△ADF和△BED中， ， ∴△ADF≌△BED（SAS）， ∴DF＝DE， 同理DE＝EF， ∴DE＝DF＝EF． ∴△DEF是等边三角形． 5．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【思路点拔】（1）根据题意得出EC＝CD＝DB，进而可证得△ABD≌△ACE，从而可判断出结论． （2）在AC上取点F，使CF ... ...