专题一 旋转图形的性质 【知识点】 一个图形绕着一个定点旋转一个角度后得到另一个图形，这样的运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转不改变图形的形状和大小，有下列基本性质： 旋转前后的对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. 【典例精讲】 题型1 利用旋转图形的性质求角度 【例1】如图所示，边长为4的正方形ABCD绕点D逆时针旋转 后能与四边形. 重合. (1) 求∠C'DC 和∠CDA'的度数; (2) 连接AA', 求∠DAA'的度数. 【分析】旋转中心是点D，旋转角为30°. 举一反三。 1. 如图所示，将 绕点A 逆时针旋转后得到. (1) 写出图中所有相等的角； (2) 若 ，求旋转角的最小值. 题型 2 利用旋转图形的性质求线段长 【例2】如图, 在1 中， 是由 绕点 C顺时针旋转得到，其中点 A'与点 A 是对应点，点B'与点 B 是对应点，连接 , 且点 A, B', A'在同一条直线上,求AA'的长. 【分析】利用直角三角形的性质得出. 再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出. 进而得出答案. 举一反三。 2. 如图, 已知 中， 将 绕点A顺时针方向旋转( 到 的位置，连接 求 的长. 100 题型3 应用旋转的性质求重叠部分的面积 【例3】(1) 问题情境: 如图①, 将顶角为 的等腰三角形纸片(纸片足够大)的顶点 P与等边 的内心O重合. 已知 则图中重叠部分△PAB的面积为 . (2) 探究：在(1)的条件下，将纸片绕P点旋转至如图②所示位置. 纸片两边分别与AC，AB 交于点 E，F，图②中重叠部分的面积与图①中重叠部分的面积是否相等 如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由. 【分析】(1) 由点O是等边三角形ABC的内心可以得到. 结合条件 即可求出重叠部分的面积. (2) 由旋转可得 从而得到 进而可以证到 因而重叠部分面积不变. 举一反三。 3. 如图所示的是两个边长为a的正方形，正方形EFGH的顶点E在正方形ABCD的中心上，此时重叠部分的面积为 现把正方形ABCD 固定不动，正方形EFGH绕E点旋转，在旋转过程中，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化 请说明理由. 101 题型4 旋转中的最值问题 【例4】如图, 在. 中， , D为AB的中点, P为AC边上一动点，将 绕点 B 逆时针旋转α角 得到 点 P的对应点为 连接 在旋转过程中，求线段 的长度的最小值. 【分析】由于E为AB的中点， 为动点，则当 时， 最短，而在 绕点B逆时针旋转 的过程中，当 在直线AB 上时， 最短，然后根据旋转的性质得到 再利用含30度的直角三角形三边的关系得到 而 所以 举一反三。 4. 如图, 在 中， D为AC上一点， 将 AD绕A 点旋转至AD', 连接BD', F为BD'的中点, 求CF的长度的最大值. 102 题型5 结论探索性问题 【例5】如图1，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接AF和BE. (1) 线段AF 和BE有怎样的大小关系 请证明你的结论. (2) 若将图1中的△CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 2，(1) 中的结论还成立吗 请作出判断并说明理由. (3)若将图1中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形(草图即可)，(1)中的结论还成立吗 请作出判断，不必说明理由. (4) 根据以上证明、说明、画图，归纳你的发现. 【分析】结论探索性问题，一般需要从条件出发，通过观察、分析寻求规律、猜想结果或发现目标，再给出证明或举出反例，可见，这类题可分为肯定型与否定型两种. 举一反三。 5. 如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点O在坐标原点. 等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，E，F分别在OA、OC上，且 将 绕O点逆时针旋转至 的位置，连接 (1) 求证: (2) 若 绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得 若存在，请求出此时点E所在坐标； 若不存在， ... ...
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