2024-2025学年山东省日照一中高二（上）第一次质检数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是( ) A. B. C. D. 2.已知空间向量，空间向量满足且，则( ) A. B. C. D. 3.在下列条件中，使与，，一定共面的是( ) A. B. C. D. 4.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则与相等的向量是( ) A. B. C. D. 5.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为( ) A. B. C. D. 6.在中，角，，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为，则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.如图，边长为的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 8.如图，水平桌面上放置一个棱长为的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为，若该正方体水槽绕倾斜始终在桌面上，则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.关于复数，下列说法正确的是( ) A. B. 若，则的最小值为 C. D. 若是关于的方程：的根，则 10.如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则( ) A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 直线与平面所成角为 11.如图，在矩形中，，，，，是的中点，将沿着直线翻折得到记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有( ) A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 若四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为 D. 若直线与所成的角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间向量，，若，则 _____． 13.设的三个内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 _____． 14.如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位． 求复数的共轭复数； 若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点． 证明：平面； 求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，． 求角的大小； 若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． 求证：平面平面； 设． 若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由． 19.本小题分 在空间直角坐标系中，已知向量，点若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． 若平面：，平面：，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量写出一个即可； 若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，点，点，平面：，平面：，求出点到平面的距离； 已知集合，，，， ，，记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合中所有点构成的几何体为． (ⅰ)求和的值； (ⅱ)求几何体的体积和相邻两个面有公共棱所成二面角的余弦值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：设，则， 为实数，，解得， 为实数， ，解得， ， ； 由可知，， 复数在复平面内对应的点在第一象限， ，解得， 故实数的取值范围为． 16.解：证明：取的中点，连接，， 因为点为的中点，所以，， 又因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 因为，，， 所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面 ... ...
