第4练 基本不等式 一、单项选择题 1．(★)已知0，则函数f(x)＝x＋的最小值为( ) A．2 B．2＋1 C．4 D. 3．(★)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋3} C．{m|－44} 4．(★★)已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 5．(★★)已知a，b∈R，若的最大值为m，且不等式x2－ax＋b<0的解集为(1,2m)，则a＋b等于( ) A．3 B．43 C．7 D．11 6．(★★★)正数m，n满足m＋n＝2，则＋的最小值为( ) A. B. C. D．2 二、多项选择题 7．(★)(2023·南通调研)下列函数中最小值为6的是( ) A．y＝ln x＋ B．y＝6|sin x|＋ C．y＝3x＋32－x D．y＝ 8．(★★)(2023·武汉模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A．a2＋b2≥8 B.≥ C.≥2 D.＋≤1 9．(★★)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( ) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 10．(★★★)(2023·黄冈模拟)已知a，b为正实数，且ab＋a＋b＝8，则下列结论正确的是( ) A．ab的最大值为4 B．(a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为18 C．a＋b的最小值为4 D.＋的最小值为 三、填空题 11．(★★)(2023·天津模拟)函数y＝(x>－1)的最小值为_____． 12．(★★★)(2024·衡水模拟)已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m＋n＝1，则＋的最小值为_____． 第4练 基本不等式（解析版） 一、单项选择题 1．(★)已知00 ， ∴x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×2＝， 当且仅当2x＝1－2x ，即x＝时等号成立， 因此，函数y＝x(1－2x)的最大值为. 2．(★)(2023·滨州模拟)若x>，则函数f(x)＝x＋的最小值为( ) A．2 B．2＋1 C．4 D. 答案 D 解析 因为x>，所以2x－1>0， 所以f(x)＝x＋＝(2x－1)＋＋≥2＋＝，当且仅当(2x－1)＝，即x＝时等号成立， 所以函数f(x)＝x＋的最小值为. 3．(★)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋3} C．{m|－44} 答案 D 解析 因为正实数x，y满足＋＝1， 所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即y＝8，x＝2时等号成立，x＋取得最小值4， 由x＋4，解得m<－1或m>4. 故实数m的取值范围是{m|m<－1或m>4}． 4．(★★)已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 答案 B 解析 由a>－1，b>－2，得a＋1>0，b＋2>0，a＋b＝(a＋1)＋(b＋2)－3≥2－3＝2×4－3＝5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值是5. 5．(★★)已知a，b∈R，若的最大值为m，且不等式x2－ax＋b<0的解集为(1,2m)，则a＋b等于( ) A．3 B．43 C．7 D．11 答案 D 解析 根据不等式xy≤可得·≤＝(a2＋b2)， 当且仅当4a2＋b2＝a2＋4b2，即a2＝b2时等号成立， 所以≤，所以m＝. 所以不等式x2－ax＋b<0的解集为(1,5)． 根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知， 1和5是方程x2－ax＋b＝0的两个解， 所以有所以a＋b＝11. 6．(★★★)正数m，n满足m＋n＝2，则＋的最小值为( ) A. B. C. D．2 答案 B 解析 ∵m＋n＝2，∴(m＋1)＋(n＋2)＝5， 即＋＝1， ∴ ＋ ＝＋ ＝＋＋ ≥＋2＝， 当且仅当＝， 即m＝，n＝时，取等号． 二、多项选择题 7．(★)(2023·南通调研)下列函数中最小值为6的是( ) A．y＝ln x＋ B．y＝6|sin x|＋ C．y＝3x＋32－x D．y ... ...
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