【精品解析】垂美四边形模型—北师大版数学八（上）知识点训练

垂美四边形模型—北师大版数学八（上）知识点训练 一、选择题 1．（2023八上·清苑期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（　　） A．15 B．16 C．17 D．20 【答案】C 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：C 【分析】先根据题意即可得到，再根据勾股定理得到，，进而得到，从而结合题意运用勾股定理即可求解。 二、填空题 2．（2020·雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点O．若 ，则 　 　． 【答案】20 【知识点】勾股定理；定义新运算 【解析】【解答】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴ AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 3．（2024八上·雅安期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则＝　 　． 【答案】41 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：， ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， ，， ． 故答案为：41． 【分析】抓住有对顶角的一对直角三角形，根据勾股定理得AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2，于是有：AD2+BC2=AB2+DC2，据此求解。 4．（2024九下·泰山模拟）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形中，，垂足为，对角线，，设，则的最小值等于　 　． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；平行四边形的性质 三、实践探究题 5．（2024八下·高州期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 【答案】61． 【知识点】勾股定理 6．（2024八下·平泉期中）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理） 变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来： 拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】勾股定理 7．（2023八上·西安月考）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．如图1，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． （1）探索证明 如图1，设，，，，猜想，，，之间的关系，用等式表示出来，并说明你的理由． （2）变式思考 如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，，，请用一个等式把，，三者之间的数量关系表示出来：　 　． （3）拓展应用 如图3，在长方形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长． 【答案】（1）解：； 理由：∵， ∴． 在直角中，由勾股定理得．① 在直角中，由勾股定理得．② 在直角中，由勾股定理得．③ 在直角中，由勾股定理得．④ 由①+③得， 由②+④得， ∴． （2） （3）解：∵，E为的中点， ∴． 设，则． ∵， ∴． 由（1）得，即， 解得或（舍去）， ∴． 【知识点】勾股定理；三角形的中线 【解析】【解答】解：（2）∵， ∴四边形BCDE是“垂美四边形”， 由（1）知， ∵BD，CE是△ABC ... ...