三十九 多边形的内角和与外角和 【A层 基础夯实】 知识点1多边形的内角和定理 1.十二边形的内角和为 (C) A.180° B.360° C.1 800° D.无法计算 2.下列度数不可能是一个多边形的内角和的是(B) A.360° B.450° C.900° D.1 800° 3.如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是 (B) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 4.某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A,B,C,D,E是正五角星的五个顶点),则图中∠A的度数是 36° . 5.如图,在五边形ABCDE中,点M,N分别在AB,AE的边上,∠1+∠2=120°, 则∠B+∠C+∠D+∠E= 480° . 6.(2023·铜仁期中)小明求得一个多边形的内角和为1 280°,小强很快发现小明所得的度数有误,后来小明复查时发现他重复加了一个内角.求出这个多边形的边数以及小明重复加的那个角的度数. 【解析】设这个多边形的边数是m, 由题意得:(m-2)×180<1 280<(m-2)×180+180,解得8360° 8.(2023·扬州中考)如果一个多边形每一个外角都是60°,那么这个多边形的边数为 6 . 9.一个多边形的外角和是它的内角和的,求这个多边形的边数和内角和. 【解析】设这个多边形是n边形, 由题意,得×180°(n-2)=360°, 解得n=11. 故这个多边形的内角和是(11-2)×180°=1 620°, ∴这个多边形是十一边形,其内角和为1 620°. 【B层 能力进阶】 10.多边形每一个内角都等于150°,则从该多边形一个顶点出发可引出对角线的条数是 (C) A.7条 B.8条 C.9条 D.10条 11.正五边形GHCDL按如图所示的方式叠放在正六边形ABCDEF上,CD边互相重合,延长LG交AF于点P,则∠APG的度数为 (B) A.141° B.144° C.147° D.150° 12.(2023·济南质检)如图,在平面内,将边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,则∠3+∠1-∠2= 24° . 13.(2023·汉中质检)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC,BD交于点F,则∠AFB的度数为 72 °. 14.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,作∠ADC,∠BCD的平分线交于点O1,再作∠O1DC,∠O1CD的平分线交于点O2,求∠O2的度数. 【解析】∵四边形的内角和是360°,∠A+∠B=210°,∴∠ADC+∠BCD=150°, ∵∠ADC,∠BCD的平分线交于点O1,∠O1DC,∠O1CD的平分线交于点O2, ∴∠CDO2=∠CDO1=∠ADC, ∠DCO2=∠DCO1=∠BCD, ∴∠CDO2+∠DCO2=(∠ADC+∠BCD)=37.5°, ∴∠O2=180°-37.5°=142.5°. 【C层 创新挑战】(选做) 15.“转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题. (1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数; (2)若对图(1)中星形截去一个角,如图(2),请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数; (3)若再对图(2)中的角进一步截去,你能由题(2)中所得的方法或规律,猜想图(3)中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗 (只要写出结论,不需要写出解题过程) 【解析】(1)如图(1),∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D,∠1+∠A+∠C=180°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°; (2)如图(2),∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F,∠1+∠A+∠C+∠D=360°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°; (3)根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,每截去一个角则会增加180°, ∴当截去5个角时增加了180°×5, 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+ ... ...
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