5 确定二次函数的表达式

中小学教育资源及组卷应用平台 3.5.1 确定二次函数的表达式（1）同步学案 列清单·划重点 知识点① 根据条件确定二次函数表达式的三种形式 1.一般式 如果给出二次函数图象与 y轴交点的纵坐标，那么可设要确定的二次函数的表达式为_____的形式，即一般式. 2.顶点式 如果给出的条件涉及二次函数的最大(小)值、图象的对称轴或顶点坐标，那么可设要确定的二次函数的表达式为_____的形式，即顶点式.其中点(h，k)为抛物线的顶点坐标. 3.交点式 如果给出的条件涉及二次函数的图象与x轴的两个交点，可以将其表达式设为 _的形式，即交点式.其中点 为该图象与x轴的两个交点. 知识点② 用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤 (1)先建立适当的平面直角坐标系； (2)根据条件设出抛物线的表达式； (3)写出相关点的坐标； (4)列方程(组)，求出待定系数； (5)写出二次函数表达式. 拓展 求二次函数关于坐标轴对称的表达式，常用的结论如下： 1.关于x轴对称的抛物线的表达式 关于x轴对称的抛物线的表达式： 关于x 轴对称的抛物线的表达式: 2.关于y轴对称的抛物线的表达式 关于y 轴对称的抛物线的表达式： 关于y轴对称的抛物线的表达式:. 明考点·识方法 考点① 已知顶点和另一点确定二次函数表达式 典例1 已知二次函数的图象以 为顶点，且过点 (1)求该函数的表达式； (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标. 思路导析 (1)已知抛物线的顶点 可设顶点式 再将 代入求出a的值;(2)将 分别代入，解方程即可. 变式 已知一个二次函数，当. 时，函数有最大值9，且图象过点(0，1). (1)求这个二次函数的表达式； (2)设 是抛物线上的三点，请直接写出 的大小关系. 考点② 已知抛物线与x轴两交点确定二次函数表达式 典例2 已知二次函数的图象与x 轴交于A(-2,0),B(1,0)两点,且经过点P(2,8). 求该二次函数的表达式. 思路导析 已知抛物线与x轴两交点的坐标，故可设其表达式为 即交点式，再将点P(2，8)代入，求得a即可. 变式 如果抛物线经过点 A(2,0)和. 且与 y轴交于点C，若OC=2，则这条抛物线的表达式是( ) 或 或 考点③ 根据二次函数图象确定其表达式 典例3 在平面直角坐标系中， 的位置如图所示.已知 点A的坐标为 (1)求点 B 的坐标; (2)求过A，O，B三点的抛物线的表达式. 思路导析 (1)分别过点 A，B作 轴，轴，证明 (2)由于抛物线经过坐标原点，故设抛物线的表达式为 变式 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A,B 两点 则该抛物线的表达式是_____. 当堂测·夯基础 1.如图所示的抛物线的表达式为 ( ) 2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点是(1,3),当 时，y随x 的增大而增大，则抛物线表达式可以是 ( ) 3.抛物线 经过点( 且对称轴是直线，该抛物线的表达式是_____. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 【明考点·识方法】 典例1 解：(1)∵抛物线的顶点为 4), ∴设抛物线的表达式为 将点 代入表达式，得 解得 ∴该函数的表达式为 即 (2)令 则 即抛物线与y轴的交点坐标为(0,3). 令 则 解得 即抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(-3，0). 变式 解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(8,9), 设二次函数的表达式为 把(0,1)代入,得( 解得 ∴二次函数的表达式为 时，函数有最大值9， 为函数的最大值， ∵抛物线的对称轴为直线 10-8, ∴点 A(6,y )和点( 关于对称轴 对称， 典例 2 解: ∵抛物线与x轴交于A(-2,0),B(1,0), ∴设二次函数的表达式为 1)(a≠0). 又∵图象过点P(2,8),∴8=a(2+2)(2-1),∴a=2, ∴二次函数的表达式为 y=2(x+2)(x-1),即 变式 D 典例3 解:(1)作 AC⊥x轴,垂足为点 C,作 BD⊥x 轴,垂足为点D,则 ∠ACO=∠ODB = 90°,∠AOC+∠OAC=90°. 又∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠BOD=90°,∴∠OAC=∠BOD. 又∵AO=BO,∴△ACO≌△ODB(AAS),∴OD=AC=1,DB=OC=3,∴点 B的坐标 ... ...