3.6 二次函数的应用

中小学教育资源及组卷应用平台 3.6.1 二次函数与图形面积同步学案 列清单·划重点 知识点 利用二次函数解决最大(小)面积问题的一般步骤 (1)引入_____(如正方形的边长、圆的半径等)； (2)用含_____的代数式将其他未知量表示出来； (3)根据几何图形的面积计算公式列出表示图形面积的_____表达式； (4)根据二次函数的性质及自变量的取值范围确定符合条件的最大(小)函数值及取得最大(小)值时相应的自变量的值，从而求得几何图形的最大(小)面积. 明考点·识方法 考点 利用二次函数解决最大(小)面积问题 典例 校艺术节上，甲同学用腰长为 20cm的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片 MNPQ，且矩形的四个顶点都在 的边上. (1) 若甲 裁剪 出 来 的矩形纸片 周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽 MQ是_____ cm; (2)设 MQ的长度为x cm,矩形 MNPQ 的面积为 ①求S关于x 的函数表达式； ②求矩形 MNPQ的面积S 的最大值. 思路导析 (1)根据勾股定理求出 BC的长，接着利用等腰直角三角形的性质得到 ，然后根据矩形纸片周长是 纸片周长的一半列方程求解即可； (2)①根据 计算即可；②通过配方法得到顶点坐标即可. 变式 如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8 m 的墙 AB 和一段长为26 m的篱笆围建一个矩形苗圃园.如果矩形苗圃园的一边由墙 AB和一节篱笆BF 构成，另三边由篱笆 ACDF 围成，设平行于墙一边 CD长为x m. (1)当苗圃园的面积为60m 时，求x的值； (2)当x 为何值时，所围苗圃园的面积最大 最大面积是多少 当堂测·夯基础 1.如图,要围一个矩形菜园 ABCD，其中一边 AD 是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD 用篱笆，且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6m ②AB 的长有两个不同的值满足菜园ABCD 面积为 ③菜园 ABCD 面积的最大值为 其中正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，王叔叔想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形 ABCD的边 时，羊圈的面积最大. 第2题图 第 3题图 3.如图,在 中，点 P从点 A 开始沿AB 向 B 以2cm/s的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 点以1 cm/s的速度移动,如果点 P,Q 分别从点A，B同时出发，当 的面积为最大时，运动时间t为_____s. 4.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为 A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆 120米. (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2 株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹 参考答案 【列清单·划重点】 知识点 (1)自变量 (2)自变量 (3)二次函数 【明考点·识方法】 典例 解：( 是等腰直角三角形， ∴ 又∵四边形 MNPQ为矩形， ∵矩形纸片周长是△ABC 纸片周长的一半， 解得 故答案为： ∵,∴当 时，S最大，最大为 变式 解:(1)∵篱笆的总长为 26 m,平行于墙一边CD长为 xm， ∴BF=(x-8)m, 由题意,得(17-x)x=60,解得 (不符合实际，舍去)， ∴x的值为12; (2)设苗圃园的面积为 S m , 由题意，得, ∴当时, 所以，当x的值为 8.5m时，所围苗圃园的面积最大,最大面积是 72.25 m . 【当堂测·夯基础】 1. C 2.15 3.2 4.解：(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为 S平方米，则平行于墙的边为(120-3x)米, 由题意，得 ∵-3<0,∴当x=20时,S取最大值1 200, ∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米时，花园面积最大为 1 200 平方米； (2)设购买牡丹m株，则购买芍药 株, ∵学校计划购买费用不超过5万元， 解得 ∴最多可以购买 1400株牡丹. 2 ... ...