教学设计 课 题 第十六讲《对角互补模型--全等、相似、圆》 课时 课 型 复习 教学目标 经历对角互补模型有特殊到一般的探索过程，发展学生的合情推理能力；探索并证明的过程，培养学生的逻辑素养，利用模型的三个模块体会数学分类讨论，转化，化归，类比等数学思想在数学中的应用。 教学重点 理解并掌握构建全等三角形和相似三角形解决几何问题。 教学难点 应用构建图形的方式解决几何问题。 教学方法 自主学习，合作探究式学习 课前准备 自主学习单，直尺，三角板，圆规 教学过程 师生活动 模块一：全等型 典例精讲：如图，已知OC平分∠AOB，， 的两边分别与OA交于点D，OB交于点E，试探究以下结论： （（1）当， （①CD与CE的数量关系为 ； ②OD、OE与OC之间的数量关系为 ； ③与OC之间的数量关系为 ； （（2)当，以上关系式是否还成立？若不成立写出关系式，并说明理由。 （(3）当为任意锐角时，请用含有的式子表示 ①CD与CE的数量关系为 ； ②OD、OE与OC之间的数量关系为 ； ③与OC之间的数量关系为 ； 例1.如图，在四边形ABCD中，CA平分，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，若四边形ABCD的面积为 ，则AC= 。 例2.已知：如图①，在四边形ABCD中，=DB平分 求证：AB=BC 如图②，若试判断形状，并说明理由。 如图③，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BC上取一点F，连接CE，AF，并交于点M，连接EF。若AD=EF=7，CD=8（CF），求AE的长。 图① 图② 图③ 【归纳总结】对角互补的四边形中，有一条对角线是角平分线时，可以构造全等三角形来解决边，角和面积问题。 模块一：跟踪练习 在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线BD上，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F。若BF=1，则 。 2.矩形ABCD，AB=6，AD=5，G为CD中点，DE=DG，于F，则DF的长为 。 3.如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若，则的值为_____． 模块二：相似型 模块二：典例精讲 如图，已知∠AOB＝90 ，OC为∠AOB内部一条射线， ∠DCE=90 ，交OA边于点D，交OB边于点E，∠BOC＝. 求证：CE=CD tan 例1、在四边形ABCD中，∠A+∠C=180，AD=2CD， 若，则 。 例2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． 问题发现： （1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则 ； ②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则 ； 拓展研究：如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：； 解决问题：如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值． 图① 图② 图③ 图④ 模块二：跟踪练习 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，且∠EDF＝90°，若AC＝3，BC＝4，DE＝2DF时，则AD的长为_____． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，P是线段AC的中点，点M为线段AB延长线上一点，点N为线段BC延长线上一点，且∠MPN＝90°，则＝ ． 3.问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明. （1）数学思考：请解答上述问题. （2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若，，求的值. （3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出的面积. 【归纳总结】对角互补的四边形中，有一组邻边成比例，可以构造相似三角形来解决问题。 模块三：四点共圆--综合题 模块三：典例精讲 已知：如图，在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，求证A、B、C、D四点共圆. 归纳：当∠A+∠C=180°时，可以得出点A，B，C，D四点 ... ...
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