深圳市中考备考百师助学培优课程——第17讲：45度角问题处理策略——构造半角模型 教学设计

罗湖区中考备考“百师助学”课程第17讲 《45度角问题处理策略———构造半角模型》 教学设计 ——— 段玲 一、内容分析 在初中几何中，45°角是一个比较特殊的角，以45°角为载体的中考题层出不穷，构造正方形半角模型(下文简称半角模型)，是初中平面几何中处理45°角的问题的常见基本构图之一。如何构造半角模型，是一个比较难突破的点。本节课就利用几个常见题型，探讨如何来构造半角模型，进而利用半角模型常见结论来解决问题。 二、教材以及学情分析 这节课是初三复习阶段的一个微专题，需要利用构造正方形、平移、旋转、翻折等方式，构造半角模型来解决部分有关45°角问题，是综合性较强的一节课。学生已经完整学习了图形三大变换的规律及性质、直角三角形判定与性质、勾股定理、三角形全等相似的判定与性质等有关内容，已经做好了学习本节课的知识储备。 三、教学目标 1、让学生能够根据半角模型的典型特征，判断是否能构造半角模型解决问题； 2、让学生能够根据题目特点，构造出半角模型，并进一步利用半角模型常用结论解决部分有关45°角的问题。 四、重点难点 重点：1、根据半角模型的典型特征，判断是否能构造半角模型解决问题； 2、根据题目特点，构造出半角模型，并进一步利用半角模型常用结论解决部分有关45°角的问题。 难点：根据题目特点，构造出半角模型。 五、前置学习（知识梳理） 1、半角模型原理 如图1，在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=∠BAC，则可将△ABD绕点A旋转至△ACE处，使得AB和AC重合，连接EF，（如图2），进而可得△AED ≌△AEF. （共顶点、等线段，见了半角作旋转） 图1 图2 2、正方形内半角模型的部分常用结论 (1)如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接AE、AF、EF。利用半角模型研究原理（如图4），则有以下结论成立： ①△AEG ≌△AEF ②BE+DF=EF； ③∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠AFD； 图3 图4 图5 进一步可推出： 如图5，若AH⊥EF于点H，则 ①△ABE ≌△AHE，△ADF ≌△AHF,，AH=AB ②点A、B、E、H四点共圆，点A、D、F、H四点共圆 ③∠BAH=∠CEF，∠DAH=∠CFE 设计意图：复习半角模型基本原理，理解半角模型常见结论的由来，为本节课学习打好理论基础。 六、学习过程 模块一： 45度角问题一 一、例题精讲 例题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点E、F分别在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为　 　． 【解答】解：如图，在AD上取点M使得AM=AB=2，过点M 作MN垂直BC于点N，与AF 交于点G ，连接EG . 则由“半角模型常用结论”得EG=BE+MG. 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE==1, 设EG＝x，则GN＝2﹣x，EG＝x+1， Rt△ENG中，由勾股定理得 解得x= ∵∠FAD＝∠GAM，∠D＝∠AMG＝90° ∴△ADF∽△AMG ∴ ∴ ∴ DF=2 在Rt△ADF中，由勾股定理得AF== 解析小结：当45°的角是从某一直角顶点发射出来时，可以考虑构造半角模型，并利用半角模型常用结论快速解决问题。 例题2．在平面直角坐标系中，四边形OCNM为矩形，如图，M点坐标为（m，0），C点坐标为（0，n），已知m，n满足．S，G，R，H分别为OC，OM，MN，NC上一点，SR，HG交于点D．若∠SDG＝135°，，则RS＝　 。 【解答】解：∵， 又∵≥0，|5﹣m|≥0， ∴n﹣5＝0，5﹣m＝0， ∴ n＝m＝5． 如图，过C作CE∥SR，在x轴负半轴上取一点E′，使OE′＝EN，得 CSRE，且△CEN≌△CE′O，则CE＝SR， 过C作CF∥GH交OM于F，连接FE，得 CFGH，则CF＝GH＝， ∵∠SDG＝135°， ∴∠SDH＝180°﹣135°＝45°， ∴∠FCE＝∠SDH＝45°， ∴∠NCE+∠OCF＝45°， ∵△CEN≌△CE′O， ∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′， ∴∠E′CF＝∠E′CO+∠OCF＝45°， ∴∠E′CF＝∠FCE， ∵CF＝CF， ∴△E′CF≌△ECF（SAS）， ∴E′F＝EF ... ...