《2.2基本不等式》（2课时）教案

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式 第1课时 基本不等式 1.能从实际情境中抽象归纳出算术平均数和几何平均数的概念；发现基本不等式； 2.探索基本不等式的证明过程，学生会用比较法、综合法、分析法证明基本不等式； 3.会正确地运用基本不等式解决简单的求最大值和最小值问题； 4.通过对基本不等式从感性到直观，再到理论的认识过程，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，培养数学的理性精神. 重点：掌握基本不等式的定义，几何解释. 难点：会用基本不等式求简单的最值问题. 创设情境 一顾客购买5黄金,商家用两臂不相等的天平秤黄金（两臂长分别为和).售货员先将5砝码放在右盘, 黄金放在左盘,使天平平衡；再将5砝码放在左盘,黄金放在右盘,使天平平衡；最后将两次秤的黄金的重量的算数平均数作为黄金的重量交给顾客,请问顾客是赚还是亏,还是不赚不亏 为什么 （杠杆平衡条件：动力乘动力臂等于阻力乘阻力臂，即：） 师生活动：教师提问学生两次测得的黄金重量如何表示？两次重量的平均重量与5比较孰大孰小？学生进行计算并回答. 设计意图：依据情境认知理论，通过生活中的称黄金问题实例设置悬念来引入，增加学生学习的兴趣，挖掘学生的好奇心和求知欲，从而顺利引入本节课. （二）探究新知 任务1：构建基本不等式. 思考：阅读教材，完成下列问题 (1)什么是基本不等式，它是如何得到的？ (2)在基本不等式中，的取值范围是多少？ (3)什么是算数平均数？什么是几何平均数？大小关系如何？ (4)根据以上问题，可以得到基本不等式的含义是什么？ 答：(1)在重要不等式的基础上，如果，用代替，用代替，则得到，当且仅当时取等号. (2). (3)算数平均数：，几何平均数： (4)两个正数的算术平均数不小于几何平均数，即. 师生活动：教师提出问题，组织学生阅读材料独立思考，引导学生总结分析.教师可随机点名提问，其他学生进行补充、评价，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解基本不等式的构建过程. 设计意图：检查学生的变换能力，使学生了解基本不等式的形式，理解其不等号和等号成立的条件. 任务2：证明基本不等式. 思考：上面通过考察的特殊形式得到了基本不等式，能否直接利用不等式的性质直接推导基本不等式呢？(课件展示比较法、分析法和综合法.) 此处只展示分析法证明： 答：要证① 只要证② 要证，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时取等号，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了. 师生活动：教师引导学生体会分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止. 设计意图：根据不等式的性质，利用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理与证明提供更丰富的策略方法. 思考：以上方法均是从代数角度证明不等式成立，能否从几何角度进一步解释基本不等式？ 任务3：基本不等式的几何解释. 探究：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，，，过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 思考：(1)线段OD，CD长为多少？ (2)如何利用这个图形得到基本不等式的几何解释？ 要求：先独立思考，再合作交流. 答：(1)由图可知，，又因为，所以利用相似比可得. (2)根据直角三角形三边关系可知，，当且仅当点O与点C重合时，，综上，所以，当且仅当时，等号成立. 师生活动：学生思考后回答，教师引导学生总结：从条件和基本不等式发现圆的半径长等于，.所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”或者说“圆中半径不小于任意一条半弦”，当且仅当弦过圆心时，二者相等. 设计意图 ... ...