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课件网) 轴对称 第十三章 ZHOUDUICHEN 授课：xxx 线段的垂直平分线的性质 巩固垂直平分线的定义； 01 学习目标 理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 02 会利用尺规作线段的垂直平分线. 03 知识回顾 你还记得垂直平分线的定义是什么吗？。 问题一 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 新知探究 如图，直线l垂直平分线段AB，，，，……是l上的点，如果把线段AB沿直线l对折，线段A与B、线段A与B、线段A与B是什么关系？ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 结 论 线段AB沿直线l对折，线段A与B、线段A与B、线段A与B……都是重合的，因此它们也分别相等. 新知探究 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB. 如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 思 考 证明：∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB. 又∵AC=CB，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB（SAS）. ∴PA=PB. 新知探索 如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢，请你证明这个结论？ 问题二 与线段两个端点相等的点在这条线段的垂直平分线上. 结 论 证明：过点P作PC⊥AB，交AB于点C. 在Rt△APC和Rt△BPC， PA=PB, PC=PC, ∴Rt△APC≌Rt△BPC（HL）. ∴AC=BC. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 例题精讲 如图，已知在△ABC中，AB=AC，E是AD上一点，BE=CE.求证：AD⊥BC. 证明：在△ABE和△ACE中， AB=AC, AE=AE, BE=CE, ∴△ABE≌△ACE. ∴∠BAE=∠CAE. ∴AD是三角形的角平分线. ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）. 新知探究 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C（如图） 求作：AB的垂线，使它经过点C. 为什么直线CF就是所求作的垂线？ 思 考 （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁. （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E. （3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作 弧，两弧相交于点F. （4）作直线CF. 即直线CF就是所求作的垂线. 作 法 例题精讲 如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若AC=8，AB=6，BC=4，则△ADB的周长为（ ） 14 B. 13 C. 12 D. 10 A 跟踪练习 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. 理由：∵AD⊥BC，BD=DC， ∴直线AD是BC的垂直平分线， ∴AB=AC. 又∵点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE. ∴AB=AC=CE. ∴DE=DC+CE=BD+AB. 跟踪练习 如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 解：直线AM是线段BC的垂直平分线. 理由：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵MB=MC， ∴点M在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AM在线段BC的垂直平分线上. 例题精讲 如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，也可以用来确定线段的中点. 点 拨 作法：如图（2）. ①分别以点A和点B维圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； ②作直线CD. 即CD就是所求作的直线. 跟踪练习 B 如图①，已知Rt△ABC，∠B=90°，用尺规作AC边的垂直平分线.如图②，步骤如下： 第一步：分别以点A，C为圆心，以a为半径画弧，两弧相交于点D，E； 第二步：画直线DE，DE就是所求作的垂直平分线. 下列说法中正确的是（ ） a无限制 B. a> AC的长 C. a≥0 D. a＜ AC的长 新知探究 对于如图所示的五角星，我们可以找出它的一对对应点A和A’，连接AA’，作出线段AA’的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴，你还能作出这个五角星的其他对称轴吗？ 问题三 跟踪练习 作出系列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 跟 ... ...
