21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 一、内容和内容解析 (一)内容 韦达定理 (二)内容解析 1.内容本质 一元二次方程的根与系数的关系是一元二次方程理论中的核心内容， 它通过韦达定理及其推论， 建立了一元二次方程的根与系数之间的直接联系， 为解决相关问题提供了理论基础和有效工具 2.蕴含的思想方法 通过回顾配方法、公式法、因式分解法，进而通过类比，引申得出因式分解法，这一过程中蕴含着类比的数学思想，体现由数到式的发展过程。 3.知识的上下位关系 韦达定理揭示了一元二次方程的根与其系数之间的特定关系， 这种关系可以通过方程的系数来推导出方程根的性质， 反之亦然。 4.育人价值 学生经过探究、归纳，学习一元二次方程的根与系数的关系，这一过程提高了学生的数学运算能力和推理能力，有助于激发学生对数学学习的兴趣和热情。 （三）教学重点 一元二次方程根与系数的关系. 二、教学目标及教学难点 （一）教学目标 1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一 元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差. 2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神. 3.通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心. （二）教学难点 让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述. （三）教学理念 以学生为主轴，以问题为主线，以教材为主源。 三、教学过程 （一）复习导入 问题1 一元二次方程的求根公式是什么？ 问题2 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 问题3 一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗 师生活动：教师提问，学生思考并积极作答 【设计意图】通过复习导入，巩固之前所学知识，建立新旧知识之间的联系，激发学生的学习兴趣，让学生明确本节课要学习的目标 （二）探究新知 思考1： 从因式分解法可知，方程为已知数)的两根为和，将方程化为的形式，你能看出，与之间的关系吗？ 师生活动：教师提问，学生思考并积极作答 把方程的左边展开，化成一般形式，得方程 这个方程的二次项系数为1，一次项系数，常数项 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系: 思考2：一般的一元二次方程 中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢 根据求根公式可知， 由此可得 因此，方程的两个根，和系数 有如下关系: 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 师生活动：教师提问，学生思考并积极作答 【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，动静结合，充分发挥学生的主体地位，体会从特殊到一般、数形结合的思想，发展运算能力、推理能力和几何直观的素养，从而突破本节课的教学难点. （三）应用新知，解决问题 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积: 解:(1) (2) (3)方程化为：. 例2：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是、，其中. 所以： 即： 由于 得：. 答：方程的另一个根是,. 例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： (1)∵( ∴( (2) 例4 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ； (3) ； (4) (= . 【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化 ... ...