《5.1.2弧度制》教案

第五章 三角函数 5.1.2 弧度制 1.理解并掌握弧度制的定义，并能熟练的进行角度制与弧度制的换算，提升学生的数学运算素养； 2.掌握运用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式； 3.通过弧度制的学习使学生理解并认识到，角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立，割裂的关系，提升学生逻辑推理素养. 重点：理解弧度的定义，熟练掌握弧度与角度的换算. 难点：理解弧度的定义，孤度制的产生过程和所蕴含的数学思想. （一）创设情境 生活中在度量时，会用到不同的单位制.比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制；度量质量可以用千克、磅等不同的单位制. 思考：角的度量单位是什么呢？换算的进制是多少呢？它是否也能用不同的单位制呢？是否可以用十进制的实数来度量角的大小呢？ 师生活动：教师展示生活中常见的度量工具，提出问题，引导学生思考角度的单位除了度还有哪种形式，引入本节课的内容. 设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：回顾角度制的概念. 思考：学过哪些度量角的单位？ 答：度、分、秒. 思考：1°是如何定义的呢？ 答：将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的角叫做1°的角，即规定圆周的所对的角为1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制. 思考：度、分、秒又如何换算呢？ 答：度与分、分与秒之间一律采用六十进制.即1°=60′，1′=60″. 师生活动：小组内交流，并汇报展示. 设计意图：通过回顾之前的知识，为本节课要突破和学习的重点知识内容做准备. 任务2：探究弧度制的概念 探究：弧度制是用弧长来度量圆心角的吗？弧长可以度量角吗？ 答：如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB所形成角.在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应圆心角. 设，OP=r，点P所形成的圆弧长为l. 思考：圆心角确定时，弧长l确定吗？弧长和圆心角有什么关系呢？ 答：由初中所学知识可知：.于是. 探究：如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为，与的比值是多少？你能得出什么结论？ 答：当圆心角不变时，为定值. 所以，圆心角所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.也就是说，这个比值随确定而唯一确定. 所以可以用圆的弧长与半径的比值度量圆心角，而这种度量像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小.这就是度量角的另一种单位制———弧度制. 规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 思考：2弧度角怎样表示呢，5弧度角呢，弧度角呢？ 答：根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l所对的圆心角为rad，那么. 其中，的正负由角的终边旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负. 口诀：逆正顺负. 思考：任意角的弧度数怎么表示呢？ 答：当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于小于角.这样就可以得到弧度为任意大小的角. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数，零角的弧度数是 0. 任务3：探究角度制与弧度制的相互换算 思考：角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间如何换算呢 答：因为周角的弧度数是而在角度制下的度数是360，所以 ， 思考：在弧度制下，与角终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？ 答：与角终边相同的角：， 终边在x轴上：， 终边在y轴上：. 探究：填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 3 ... ...