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课件网) 人教九上数学同步精品课件 人教版九年级上册 人教版九（上）数学精简课堂课件 第二十四章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 随堂演练 获取新知 情景导入 例题讲解 知识回顾 课堂小结 24.1 圆的有关性质 情景导入 如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m)． 获取新知 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. ●O 知识点一：垂径定理及其推论 问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 为什么 · O A B C D E 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，根据前面的说理，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 归纳总结 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 例题讲解 例1 如图，⊙O的弦AB＝8 cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2 cm，求半径OC的长． · O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ ． 设OC=x cm，则OD=(x-2) cm. 根据勾股定理，得 解得 x=5. 即半径OC的长为5 cm. x2=42+(x-2)2， 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一下，得到的命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧． 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 获取新知 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） · O A B C D E ⌒ AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 解：（1）连接AO，BO，则AO=BO. ∵AE=BE，∴OE⊥AB， ∴CD⊥AB. 证明举例 ⌒ ⌒ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 推导格式： ∵ CD是直径，AE=BE， ∴ CD⊥AB, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 你还有其他的结论吗？你发现了什么？ 归纳总结 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 垂径定理的本质是: 知二得三 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦（不是直径） （4）这条直线平分弦（不是直径）所对的优弧 （5）这条直线平分弦（不是直径）所对的劣弧 例题讲解 例2 已知：⊙O中弦AB∥CD. 求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）. ∴AM－CM＝BM－DM. ∴AC＝BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例3 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m. 解得R≈27.3(m). 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. ∴ AD= AB=18.5m， OD=OC-CD=R-7.23. ∵ OA = AD + OD , 2 2 2 18.5 + (R-7.23) 即R = 2 2 2 1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦 ... ...
