13．4 课题学习 最短路径问题 学习目标： 1．通过探究活动，初步掌握将实际问题抽象为数学问题的方法． 2．通过学习和讨论，学会利用轴对称将最短路径问题转化为 “两点之间，线段最短”问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 3.能利用所学知识证明所选的路径为最短路径。 重难点： 1．通过探究活动，初步掌握将实际问题抽象为数学问题的方法． 2．通过学习和讨论，学会利用轴对称将最短路径问题转化为 “两点之间，线段最短”问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 教学过程： 学前准备 （过渡语：最短路径问题一直是我们初中数学的一大难点，不过大家不用害怕，老师在导学案中为大家准备了突破这一难点的装备，大家准备好了吗？）。 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ ②最短，因为两点之间线段最短 2. 如图，你会不会作点A关于直线l的对称点？ 3. 如图，点A 和点A ′关于直线l对称，根据轴对称的性质可知，直线l 上任意一点P到点A和点A ′ 的距离PA和P A ′有什么关系？ 关于直线l对称的两个点，到直线l上任意一点的距离相等 4. 在我们前面的学习中，涉及比较线段大小的基本事实有哪些？ 三角形的三边关系：两边之和大于第三边； （过渡语：有了这些装备，我们就可以开始我们的探究之旅了。 “将军饮马”是一个实际问题，那么大家能不能把它抽象为一道数学问题呢？） 合作探究 化繁为———把实际问题抽象为数学问题 （过渡语：很好，大家已经迈出了很重要的一步，但是不要着急，让我们先来一道相对简单的问题热热身，再开始我们最终的挑战吧。） 二、先易后难———逐步探究解决方案 想一想： 问题1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离之和最短？ 师生活动：学生利用已经学过的知识，很容易解决这个问题.即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这交点即为所求； （过渡语：现在回到今天的问题，当A、B两点位于直线的同侧，我们能不能利用前面所学的知识把它转化成两侧的问题？） 问题2.如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，要使AC +BC最短，如何才能用问题1的方法确定C点的位置？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充.如果学生有困难，教师可作如下提示： 要想用问题1中的方法解决这个问题，就需要在l的另一侧找到一个点B ′，使得点B ′和直线l上任意一点C所连的线段B ′C=BC？利用我们前面所学的知识能不能找到这样的点？如果能，应该怎么做？ 要点归纳：（1）作点B 关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C，则点C 即为所求．如图所示. （过渡语：太好了，现在我们离成功只有一步之遥了，虽然我们利用轴对称找到了点C，但是它能不能保证AC+BC一定是最短的路径呢？） 三、验证结论———利用数学知识证明探究所得结论 你能不能利用所学的知识证明你所作的点C能使AC +BC最短吗？ 师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A、B两点的距离之和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小. 证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质可知， BC = B′C，BC′= B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+ B′C′， ∴ AC + BC＜AC′+ BC′． 即 AC + BC 最短． 课堂小结 回顾前面的探究活动，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 师生活动：学生回答，并相互补充。（让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.） 当堂训练 如图所示,直线 ... ...
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