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课件网) 3.4.1 课时1 直线的方向向量 与直线的向量表示 1.能用向量语言表述直线. 2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量. 3.理解点在直线上的充要条件. 问题2：在空间中，怎样可以确定一条直线？ 问题1：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 两点可以确定一条直线； 直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线. 在空间中取一个定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示，向量 就是点P的位置向量. 1.直线
的方向向量 如图，设
，
是直线
上不重合的任意两点，称
为直线
的方向向量.显然，一条直线有无数个方向向量，根据平行向量的定义可知，这些方向向量都平行，因此与
平行，故与
平行的任意非零向量
也是直线
的方向向量. 概念讲解 2.直线
的向量表示: 如图，点
是直线
上的一点，非零向量
是直线
的一个方向向量，那么对于直线
上的任意一点
，一定存在实数
，使得
. 我们把这个式子称为直线
的向量表示. 注意 1.在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： (1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线l平行或重合． 2.与直线l平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 3.给定空间中任意一点A和非零向量，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量的直线． 4.表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反． 例1:已知点，，为线段上一点且 ，求点的坐标. 解：∵点
在线段
上，
. 设
，由
， 得
， 即
解得
∴点
的坐标是
. 例2:如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：是直线GH的一个方向向量. 证：连接MO， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点， 又M是PC的中点，∴MO∥PA. ∵MO 平面BDM，PA 平面BDM，∴PA∥平面BDM. ∵PA 平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH， ∴PA∥GH， ∴是直线GH的一个方向向量. 例3:在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，0)，B(2，3，3)，C(0，1，2)，点D为直线AB上的一点，且CD⊥AB，求 解：依题意知 ∴存在实数λ，使得 则 ∵点D是直线AB上的一点， ∵CD⊥AB， 即 解得 问题：在空间中，如何证明A，B，P三点共线？ 例4:求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得 证明：如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t，使得 整理得 P A B O 同时这也是P，A，B三点共线的充要条件. 例5:如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 证：连接AO，AC1，A1C1， 则 =， ∵=2，=+==， ∴+=. 例5:如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 又=1， 故C1，O，M三点共线. 归纳总结 三点P，A，B共线的三种充要条件 1.若 ， 在直线 上，则直线 的一个方向向量为( @29@ ) A. B. C. D. 2.已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( @29@ ) A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 3.在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若 ，且G，M，N三点共线，求x+y= . A A 回顾本节课所学知识： 1.直线的方向向量及应用. 2.直线的向量表示. 3.点在直 ... ...
