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课件网) 3.4.2 课时2 三垂线定理及其逆定理 1.理解并掌握三垂线定理及其逆定理. 2.会用空间向量解决立体几何问题，掌握其一般步骤. 例1:已知：如图，AB⊥α，垂足为点B， 求证：l⊥AC. 证明：设向量l是直线l的方向向量. 由l⊥BC可知， 本例所证明的结论，通常称为三垂线定理.这里，直线BC实际上是斜线AC在平面α内的投影. 归纳总结 1.三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. 2.三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A， 求证:BD1⊥平面AB1C. 证明:连接BD，A1B. ∵DD1⊥平面ABCD， ∴BD是斜线D1B在平面ABCD内的投影. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，即AC垂直于斜线D1B在平面AD内的投影BD. ∴AC⊥BD1.同理可证AB1⊥BD1. 又AB1∩AC=A，AB1，AC 平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. 归纳总结 用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出或作出平面的垂线，至于投影则是由垂足和斜足来确定的. 证明a⊥b(线线垂直)的一个程序:一垂、二投、三证.即 第一，找或作平面垂线. 第二，找投影，这时a，b变成平面内的一条直线与平面的一条斜线. 第三，证明直线a与投影垂直，从而得出a与b垂直. 例3:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN. 证明：由直三棱柱ABC-A'B'C'，可知A'A⊥平面ABC. 故以点A为原点，AB，AC，AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 又 设AA'=1， 则 例3:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN. ∵点M，N分别为A'B和B'C'的中点， (1)由图易知 是平面A'ACC'的一个法向量. ∴ ∥平面 A'ACC'. 又∵ 平面A'ACC'，∴MN∥平面A'ACC'. 例3:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN. (2)依题意有 设n1=(x，y，z)是平面CMN的一个法向量， 则 不妨取y=1，得 同理可得平面A'MN的一个法向量 ∴平面CMN⊥平面A'MN. 例3:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN. 归纳总结 利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤 1.建立适当的空间直角坐标系，求对应点的坐标； 4.把向量运算的结果“翻译”为几何结论. 3.运用向量方法求解； 2.用坐标表示空间向量； 1.菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是_____. 2.若直线l的方向向量为a=(2，0，1)，平面α的法向量为n=(-4，0，-2)，则直线l与平面α的位置关系为( ) A.l与α斜交 B.l α C.l∥α D.l⊥α 垂直 D 3.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于( ) A. B. C. D. D 根据今天所学，回答下列问题： 1.三垂线定理及其逆定理分别是什么？ 2.利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤是什么？(
课件网) 3.4.2 课时1 用向量方法研究 立体几何中的位置关系 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直的关系不同思路. 已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面α，β的法向量分别为n1，n2. (1)若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面α，则它们的方向向量和法向量有什么关系 (2)若l1⊥l2，l1∥β呢 (3)若α∥β，则n1，n2有什 ... ...
