2025年贵州中考数学重难题型攻关-题型二 圆的综合题（学生版+教师版）

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科 2025年贵州中考数学重难题型攻关- 题型二 圆的综合题 学生版 类型1 与切线的性质有关的证明与计算（贵州：2024.23，贵阳：2022.23，2020.23） 例 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是的切线，交的延长线于点. 例题图 （1） 写出图中一对相似三角形：_____； （2） 求证：； （3） 若，，求的半径. 变式1．如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，连接，，延长交过点的切线于点. 变式1图 （1） 写出一个与相等的角：_____； （2） 求证：； （3） 若，，求的长. 变式2．如图，与相切于点，是的直径，，交于点. 变式2图 （1） 图中与线段相等的线段是_____； （2） 探究与之间的数量关系，并证明； （3） 若，，求的值. 变式3．[2024黔东南州模拟]如图，是的直径，弦于点，的切线交的延长线于点，连接，已知，，. 变式3图 （1） 的度数为_____； （2） 求证：； （3） 若弦与直径相交于点，当 时，求阴影部分的面积. 类型2 与切线的判定有关的证明与计算 例 如图，是的直径，点在上，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点. 例题图 （1） 图中与相似的三角形是_____； （2） 求证：是的切线； （3） 若为的中点，试判断四边形的形状，并说明理由. 变式．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且. 变式图 （1） 的度数为_____； （2） 求证：是的切线； （3） 若，，求的长. 类型3 与圆的基本性质有关的证明与计算（贵州：2023.23，贵阳2021.23） 例 如图，点，，都在上，连接，，，，与相交于点， ，. 例题图 （1） 写出图中与线段平行的线段：_____； （2） 求证：； （3） 求由弦，与所围成的阴影部分的面积（结果保留）. 变式．如图，四边形内接于，，为直径，为上一动点，连接交于点，交于点，连接. 变式图 （1） 若 ，则的度数为_____； （2） 当时，求证：； （3） 在（2）的条件下，当，时，求半径的长. 2025年贵州中考数学重难题型攻关- 题型二 圆的综合题 教师版 类型1 与切线的性质有关的证明与计算（贵州：2024.23，贵阳：2022.23，2020.23） 例 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是的切线，交的延长线于点. 例题图 （1） 写出图中一对相似三角形：_____； （2） 求证：； （3） 若，，求的半径. 【答案】（1） （2） 证明：如解图，连接. 例题解图 是的直径，是的中点， . 是的切线， . ，. ，， ， . ， ， . （3） 解：设的半径为， 则，. 在中，， 即， 解得， 的半径为3. 变式1．如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，连接，，延长交过点的切线于点. 变式1图 （1） 写出一个与相等的角：_____； （2） 求证：； （3） 若，，求的长. 【答案】（1） （答案不唯一） （2） 证明：如解图，连接. 与相切于点， . 四边形是圆内接四边形， . ， . ，. ，， ，， ，. 变式1解图 （3） 解：是的直径， . ，， . ，. ，， ，， ，， . 变式2．如图，与相切于点，是的直径，，交于点. 变式2图 （1） 图中与线段相等的线段是_____； （2） 探究与之间的数量关系，并证明； （3） 若，，求的值. 【答案】（1） （2） ，证明如下： 由（1）可知， ， ， ，. （3） 与相切，是的直径， ， . ， 设，，，. ，由（2）知，， . ，， ，， ，. ， ， ，， ，. 【解析】 变式2 【解法提示】设，与相切于点，，， ， ， ，. 变式3．[2024黔东南州模拟]如图，是的直径，弦于点，的切线交的延长线于点，连接，已知，，. 变式3图 （1） 的度数为_____； （2） 求证：； （3） 若弦与直径相交于点，当 时，求阴影部分的面积. 【答案】（1） （2） 证明：如解图，连接. 是的切线， . 由（1）可得 ， ， ， ，. 变式3解图 （3） 解 ... ...