2024-2025学年人教版数学九年级上册同步能力提升讲义：22.2 二次函数与一元二次方程（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 22.2 二次函数与一元二次方程 ■重点01 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】　（2023秋 连云港期末）抛物线与轴的交点个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】令函数值为0，得到一元二次方程，再根据根的判别式判断有几个解就是与轴有几个交点． 【解答】解：令，即， △， 方程没有实数根， 抛物线与轴没有交点， 故选：． 【典例2】　（2024秋 新丰县期中）抛物线与轴的交点个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【分析】抛物线与轴的交点个数即为抛物线对应的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可． 【解答】解：△， 抛物线与轴的交点个数为0个， 故选：． 【典例3】　（2024秋 朝阳区校级期中）抛物线与轴的交点坐标为 　　． 【答案】或． 【分析】根据函数与方程的关系求解． 【解答】解：当时，， 解得：或， 抛物线与轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根．抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离． ■重点02 二次函数与一元二次方程 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）， （1）当Δ＝b2﹣4ac＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有2个交点（x1，0），（x2，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （2）当Δ＝b2﹣4ac＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有1个交点（x1，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1=x2． （3）当Δ＝b2﹣4ac＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点； 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根． 【典例1】　（2024秋 惠州期中）二次函数的图象如图所示，则的两个根为 　　． 【答案】，3． 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，，根据对称性解决问题即可． 【解答】解：设抛物线与轴的另一个交点为，， 抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点是， ， ， 抛物线与轴的两个交点为，， 的两个根为，3． 故答案为：，3． 【典例2】　（2024秋 新市区月考）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为 　　． 【答案】，． 【分析】直接根据图象交点的横坐标可得答案． 【解答】解：，两点的横坐标为，3， 方程的解为，， 故答案为：，． 【典例3】　（2024秋 西华县期中）已知关于的一元二次方程． （1）试判断原方程根的情况； （2）若抛物线与轴交于，、，两点，则、两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）有两个不相等的实数根 （2）存在最小值，最小值是2 【分析】（1）根据题意可得△，据此即可得出答案； （2）利用公式法解一元二次方程即可得出、两点的坐标，于是可求得、两点间的距离，然后根据二次函数的图象与性质即可得出答案． 【解答】解：（1）△， ，， 即△， 方程有两个不相等的实数根； （2）在中，当时，即， 解得， ， 当时，有最小值2， 答： ... ...