人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解专题四因式分解九种方法技巧及应用

中小学教育资源及组卷应用平台 人教版八年级数学上名师点拨与训练 第14章 整式的乘法与因式分解 专题四 因式分解九种方法技巧及应用 老师告诉你 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式 （2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式、十字相乘法来分解 （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项来分解 （4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解. 总结：看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。 类型1 提公因式法提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 注意： ①提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． ②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； 如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. 【例1-1】．分解因式： ． 【例1-2】．已知，则 ． 【变式1-1】．计算 ． 【变式1-2】．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式1-3】．因式分解：． 类型2 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【例2-1】．因式分解的结果为 ． 【例2-2】．因式分解： ． 【变式2-1】．．因式分解： (1)； (2)． 【变式2-2】．．分解因式： (1)； (2)． 【变式2-3】．．因式分解：． 类型3 先提公因式，再用公式法 当多项式有公因式时，先提公因式，再运用公式 【例3-1】．．若，，，则的值为 ． 【例3-2】．．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 【变式3-1】．因式分解： (1) (2) 【变式3-2】（1）分解因式： （2）分解因式： 【变式3-3】．分解因式 (1)； (2) 类型4 先展开，再用公式法 【例4-1】．分解因式 （a﹣b）（a﹣4b）+ab． （2）（a﹣b）2+4ab． 【例4-2】．分解因式（x﹣2）（x﹣4）+1． 【变式4-1】分解因式:Y( y -4) -2(y -4 )+1 【变式4-2】分解因式：m2 (m - 8 )+ 16m 类型5 十字相乘法 1. x2+(p+q)x+pq=（x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2 + bx + c 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a = a1 . a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c = c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 +a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 + bx + c 的 一次项系数b ，即 a1c2 + a2c1 = b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与 a2 x + c2 之积，即 ax2 +bx + c = (a1x + c1)(a2 x + c2 ) ． 【例5-1】．对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ． 【例5-2】．．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就 ... ...