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课件网) 向量的数量积 一 、向量的数量积的定义 在物理学中，一个物体在力的作用下产生位移，就说这个力对物体做了功. 如果力的方向跟物体运动的方向相同，功就等于力的大小和位移大小的乘积. 如图,如果力 的方向与物体运动的方向成 角，我们可以将力进行分解： 与位移方向平行的分力 满足 , 物体在 的方向上产生了位移 ,因而力 对物体做的功为 ; 与位移方向垂直的分力 , 由于没有使物体在该分力的方向上产生位移，因而对物体不做功. 一 、向量的数量积的定义 综上可知，力 对物体做的功为 . 当 时, , 即力 做正功； 当 时, , 即力 不做功； 当 时, , 即力 做负功； 力对物体所做的功是一个数量，它由力和位移两个向量来确定.功可以看作力 和位移 这两个向量的某种运算的结果. 如图,已知两个非零向量 和 , 作 , ,向量 与 的夹角 记为 或 . 称为 与 的数量积(或内积),记作 , 即 . 规定零向量与任一向量的数量积为0. 抽象概括 投影变换与投影向量 D b a A B C A1 B1 为向量a在向量b上的投影向量 b a O N M M1 向量b方向的单位向量为e，a与b的夹角为θ，探究投影向量的表示. b a O N M M1 b a O N M M1 b a O N M M1 θ θ θ =(|a|cosθ)e =0 =(|a|cos)e =-|a|cos(π-θ)e =(|a|cos θ)e 任意θ∈[0,π]，有=(|a|cosθ)e. 向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系 在物理学中，若力F的方向与物体运动的方向成θ角则有： 当0°≤θ＜90°时,W＞0,即力F做正功； 当θ=90°时，W=0,即力F不做功； 当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功. 当0°<θ＜90°时, cos θ >0,a·b＞0； 当90°<θ＜180°时, cos θ <0,a·b<0； 当θ =90°时， cos θ =0, a·b=0； 当θ =0°时, cos θ =1, a·b=; 当θ =180°时, cos θ =-1, a·b=-. 向量数量积：两个非零向量a与b，它们的夹角记为θ(0°≤θ≤180°)，a· b＝|a||b|cos θ 对于两个非零向量a与b，它们的夹角记为θ(0°≤θ≤180°)，则向量a与b数量积 a· b＝|a||b|cos θ 例1：如图,已知向量 与 ,其中 , , 且 与 的夹角 (1)求 ; (2)求向量 在 方向上的投影数量，并画图解释. 解:(1) (2)如图,作 , , 过点 作直线 的垂线,垂足 为 , 则 所以向量 在 方向上的投影数量为 三 、数量积的运算性质 1. 数量积的运算律 对任意的向量 和实数 : (1)交换律： ; (2)与数乘的结合律： ; (3)关于加法的分配律： 2. 数量积的性质 (1)若 是单位向量，则 (2)若 是非零向量，则 (3) 即 （ 也可以记作 ） (4) (5) 且仅当 等号成立. 这些性质都可以用向量数量积的定义和几何意义来证明. 例2：已知向量 其中 且 与 的夹角 与 的夹角 求 在 方向上的投影数量. 解： 在 方向上的投影数量为 [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量．( ) (2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0 a·b>0.( ) (3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.( ) (5)若a，b，c为非零向量，|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.( ) (6)若两个非零向量a，b满足a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|.( ) × √ × × × √ 4．若|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是_____. 解析：设a与b的夹角为θ. ∵a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝＝＝－. 又θ∈[0，π]， ∴θ＝. 课堂小结 课后作业 ▲基础题： 教材第109页第3题,第4题 ▲提高题： 教材第113页 习题 2-5 A组 第3题 ... ...
