第一章 空间向量与立体几何 同步练习卷（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一

第一章空间向量与立体几何同步练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 一、单选题 1．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ） A．5 B． C． D． 2．在正方体中，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，若向量共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点，则点到平面AEF的距离为（ ） A． B．2 C． D． 5．已知，若三向量共面，则实数等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 8．在平行六面体中，与向量相等的向量有（ ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 10．在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 11．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当 时，的长最小. 12．如图所示，在几何体中，平面，平面，，，又，，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 四、解答题 13．如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 14．如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，． (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 15．如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，. (1)用，，表示； (2)用，，表示. 16．在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A A A D ABD BD 1．C 【分析】根据及数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以，即线段的长为. 故选：C 2．B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 3．A 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】显然不共线，故可设，即， 从而，，，故. 故选：A. 4．A 【分析】建系标点，求平面AEF的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面AEF的距离. 故选：A. 5．A 【分析】根据三向量共面，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】三向量共面，设， 故， 即，解得. 故选：A 6．D 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于基向量、、的表达式 【详解】连接，因为为的重心，则，如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 所以， . 故选：D. 7．ABD 【分析】A项由空间向量的模为实数可知；B项由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项由两向量共线且反向情况可判断；D由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由可得， 则， 即，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，方向上与方向相同的单位向量为 ， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 8．BD 【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果. 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD. 9． 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计 ... ...