2023年全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛试题 (原卷版+解析版)

2023年全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛试题 一、填空题(本题满分64分，每小题8分) 1．若，且，则的最大值为_____． 【详解】，等号成立时． 所以的最大值为． 2．，且满足，则_____． 【详解】由于函数为奇函数，且在上单调递增，则依题意， 3．设满足为任意实数，则_____． 【详解】由于，则至少有一个为0．不妨设， 所以． 4．设满足，若对于任意的，都有 ， 则_____． 【详解】 同理可证明． 则，又， 所以． 5．_____． 【详解】 6．设为函数的图象上在轴两侧的点，则在两点的切线与轴围成的区域面积的最小值为_____． 【详解】如图，设，其中， 则切线： 同理可得． 于是， 联立可得，因此 令， 则在(0，1)上上单调递减，在上单调递增， 于是． 所以区域面积的最小值为8． 7．，则的最小值为_____． 【详解】． 设， 则，取时等号成立． 所以的最小值为． 8．将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为_____． 【详解】如图，是绕中心旋转得到的正方形， ，则 于是． 所以圆柱的高为． 二、解答题(本题满分56分) 9．设为椭圆上不同的两个点，直线分别与轴、轴交于．若是直线上任意一点，且直线的斜率存在且都不等于0．试问：直线斜率的倒数能否排成等差数列 若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 【详解】设， 联立 设， 同理可得． 于是 所以直线斜率的倒数能排成等差数列． 10．某城市采用摇号买车的方式，有30万人摇号，每个月有3万个名额． (1)如果每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下个月进行摇号且每到下个月都有3万人补充进入摇号队伍，则平均每个人摇上号需要多长时间 (2)在(1)的条件下，若交管所可以控制摇上号的人数比例，使得每个季度的第一个月摇上的概率为，第二个月摇上的概率为，第三个月摇上的概率为，则平均每个人摇上号需要多长时间 【详解】(1)记为某人第个月摇上号的概率，则． 于是 ， 所以． (2)依题意， ， 于是 所以． 11．求所有满足为有理数，且的正整数组(x, y, u, v)． 【详解】若不是完全平方数，设，且不可化简)． (1)是完全平方数，则，不合题意； (2)不是完全平方数，设，且不可化简)． 则，不合题意． 因此是完全平方数，同理也是完全平方数． 由， 则； (1)当时，，令，则， 且．不妨设， 记， 于是 若，矛盾． 从而， 所以． (2)当时，，令， 设，则，且． 不妨设，即． 记． 于是 若，矛盾． 从而， 所以． 综上，所有符合条件的正整数组．2023年全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛试题 一、填空题(本题满分64分，每小题8分) 1．若，且，则的最大值为_____． 2．，且满足，则_____． 3．设满足为任意实数，则_____． 4．设满足，若对于任意的，都有 ， 则_____． 5．_____． 6．设为函数的图象上在轴两侧的点，则在两点的切线与轴围成的区域面积的最小值为_____． 7．，则的最小值为_____． 8．将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为_____． 二、解答题(本题满分56分) 9．设为椭圆上不同的两个点，直线分别与轴、轴交于．若是直线上任意一点，且直线的斜率存在且都不等于0．试问：直线斜率的倒数能否排成等差数列 若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 10．某城市采用摇号买车的方式，有30万人摇号，每个月有3万个名额． (1)如果每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下个月进行摇号且每到下个月都有3万人补充进入摇号队伍，则平均每个人摇上号需要多长时间 (2)在(1)的条件下，若交管所可以控制摇上号的人数比例，使得每个季度的第一个月摇上的概率为，第二个月摇上的 ... ...