2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题 (原卷版+解析版)

2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题 一试 一、填空题(每小题8分，共64分) 1．如图，，，垂足分别是．已知， ，则_____． 2．是集合的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则的最大值是_____．(这里表示的元素个数) 3．已知函数，其中．若恒成立，则满足题设的常数的个数为_____． 4．已知集合，映射，且满足对任意，有，则这样的有_____个． 5．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 6．设实数满足则_____． 7．已知在中，，则_____． 8．使得为完全平方数的正整数的最小值是_____． 二、填空题(共56分) 9．已知为正整数，，且互质．若关于的不等式有且仅有2023组正整数解，则_____．(求出满足题意的所有可能数组) 10．已知是一个锐角，那么的最小值是_____． 11．现有11位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午9点开始到下午5点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要1位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解2场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责．则馆方共有_____种排班方式． 二试 1．已知实数，求证：，其中． 2．如图，为给定的锐角三角形，其内切圆分别与边切于点．高分别与的平分线交于点．设分别为的外接圆，的中点在外．求证：从的中点引向和的切线长相等． 3．某校举办数学文化节，据统计当天共有980多(不少于980，小于990)名同学进校参观，每位同学进校参观一段时间后离开(之后不会再进来)．若无论这些同学以怎样的时间安排参观，我们都能找到位同学，使得要么这位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观．求的最大值． 4．求所有的合数，使得存在整数，满足为的倍数．2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题 一试 一、填空题(每小题8分，共64分) 1．如图，，，垂足分别是．已知， ，则_____． 【详解】在Rt和Rt中，， 则． 2．是集合的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则的最大值是_____．(这里表示的元素个数) 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，． 则除3的倍数外，任何两个数的平方和不是9的倍数，于是中至多有一个为3的倍数，即 3．已知函数，其中．若恒成立，则满足题设的常数的个数为_____． 【详解】当时，，此时． 而当时，设，则为模4余1的奇数，于是为模8余2的偶数．反之显然成立． 所以满足题设的常数的个数为． 4．已知集合，映射，且满足对任意，有，则这样的有_____个． 【详解】若，则或或 若，则或或或 若，则或或 或或或 综上，满足条件的共有个． 5．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 【详解】由题意得 又当时，不合题意． 所以的取值范围是． 6．设实数满足则_____． 【详解】 ． 7．已知在中，，则_____． 【详解】设， 则， 同理可得． 又， 于是． 所以 8．使得为完全平方数的正整数的最小值是_____． 【详解】设 设，由可知，取最小值当且仅当最小． 的正因子从小到大依次为 ， 所以 经检验， 二、填空题(共56分) 9．已知为正整数，，且互质．若关于的不等式有且仅有2023组正整数解，则_____．(求出满足题意的所有可能数组) 【详解】，如图所示． 可知线段，上没有整点， 则不等式的正整数解有组． 依题意， 于是， 经检验，时不合题意． 所以． 10．已知是一个锐角，那么的最小值是_____． 【详解】应用权方和不等式，有 等号成立时． 所以的最小值是． 11．现有11位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午9点开始到下午5点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要1位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解2场，并且第一 ... ...