南洋模范2024学年第一学期高三年级数学周测 2024.09 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.定义集合运算:.已知集合,则集合有 个真子集. 2.函数的定义域为 . 3.已知实数满足,且,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 4.数在上可导,若,则 . 5.已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 . 6.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则 . 7.已知函数（且,若函数的值域是,则实数的取值范围是 . 8.已知函数,若函数在区间上存在极值,则实数的取值范围为 . 9.已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为 . 10.若函数在上的最小值为1，则正实数的值为 . 11.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 12.已知函数，若函数在有6个不同的零点，则实数的取值范围是 . 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13.已知，那么下列不等式成立的是（ ）. A. B. C. D. 14.命题："函数在区间上单调递增"是命题：""的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.已知定义在R上的函数满足均有,则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 16.已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 三、解答题(共5道大题，共76分) 17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 已知集合，全集. (1)当时，求; (2)若""是""的必要条件，求实数的取值范围。 18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立,求实数的取值范围。 19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用。某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了"爱眼护眼"有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答。已知该班学生甲答对A组题的概率均为，答对组题的概率均为。假设学生甲每道题是否答对相互独立。 (1)求学生甲恰好答对3道题的概率； (2)设学生甲共答对了道题,求的分布列及数学期望. 20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分) 已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切。 (1)求的方程; (2)设点是椭圆上关于轴对称的两点,交于另一点, ①证明：直线经过定点；②求的内切圆半径的范围. 21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分)已知函数,其中. (1)证明:当时,; (2)若时,有极小值,求实数的取值范围; (3)对任意的恒成立,求实数的取值范围. 南洋模范2024学年第一学期高三年级数学周测 2024.09 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.定义集合运算:.已知集合,则集合有 个真子集. 【答案】15 【解析】因为, 所以,则集合有个真子集.故答案为:15 2.函数的定义域为 . 【答案】 【解析】令,解得,故定义域为. 3.已知实数满足,且,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，则同号，又，则只能同正. ,变形得到.则. 当且仅当，且，则取等号. 由于恒成立，则，解得. 4.数在上可导,若,则 . 【答案】12 【解析】根据导数定义可 5.已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设, 所以函数在上单调递减，， 即,得，所以,所以不等式的解集为. 6.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由得， 所以曲线在原点处的切线为。由得， ... ...
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