南洋模范2024学年第一学期高三年级数学周测 2024.09 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.定义集合运算:.已知集合,则集合有 个真子集. 2.函数的定义域为 . 3.已知实数满足,且,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 4.数在上可导,若,则 . 5.已知是定义域为的函数的导函数,且,则不等式的解集为 . 6.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线,则 . 7.已知函数(且,若函数的值域是,则实数的取值范围是 . 8.已知函数,若函数在区间上存在极值,则实数的取值范围为 . 9.已知函数的单调减区间是,过点存在与曲线相切的3条切线,则实数的取值范围为 . 10.若函数在上的最小值为1,则正实数的值为 . 11.若对任意,不等式恒成立,则的取值范围为 . 12.已知函数,若函数在有6个不同的零点,则实数的取值范围是 . 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13.已知,那么下列不等式成立的是( ). A. B. C. D. 14.命题:"函数在区间上单调递增"是命题:""的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.已知定义在R上的函数满足均有,则不等式的解集为( ). A. B. C. D. 16.已知函数,若对于定义域内的任意实数,总存在实数使得,则实数的取值范围为( ). A. B. C. D. 三、解答题(共5道大题,共76分) 17.(本题满分14分.本题共2小题,第(1)小题7分,第(2)小题7分.) 已知集合,全集. (1)当时,求; (2)若""是""的必要条件,求实数的取值范围。 18.(本题满分14分.本题共2小题,第(1)小题8分,第(2)小题6分.) 已知函数. (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)若恒成立,求实数的取值范围。 19.(本题满分14分.本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.) 良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康,降低近视发生的可能性,对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用。某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯,开展了"爱眼护眼"有奖知识竞赛活动,班主任将竞赛题目分为两组,规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答。已知该班学生甲答对A组题的概率均为,答对组题的概率均为。假设学生甲每道题是否答对相互独立。 (1)求学生甲恰好答对3道题的概率; (2)设学生甲共答对了道题,求的分布列及数学期望. 20.(本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分.第(3)小题6分) 已知椭圆左焦点为,离心率为,以坐标原点为圆心,为半径作圆使之与直线相切。 (1)求的方程; (2)设点是椭圆上关于轴对称的两点,交于另一点, ①证明:直线经过定点;②求的内切圆半径的范围. 21.(本题满分18分.本题共3个小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)已知函数,其中. (1)证明:当时,; (2)若时,有极小值,求实数的取值范围; (3)对任意的恒成立,求实数的取值范围. 南洋模范2024学年第一学期高三年级数学周测 2024.09 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.定义集合运算:.已知集合,则集合有 个真子集. 【答案】15 【解析】因为, 所以,则集合有个真子集.故答案为:15 2.函数的定义域为 . 【答案】 【解析】令,解得,故定义域为. 3.已知实数满足,且,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】,则同号,又,则只能同正. ,变形得到.则. 当且仅当,且,则取等号. 由于恒成立,则,解得. 4.数在上可导,若,则 . 【答案】12 【解析】根据导数定义可 5.已知是定义域为的函数的导函数,且,则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设, 所以函数在上单调递减,, 即,得,所以,所以不等式的解集为. 6.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线,则 . 【答案】 【解析】由得, 所以曲线在原点处的切线为。由得, ... ...
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