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课件网) 第六章 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 第二课时 向量的数量积(二) 课标要求 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 引入 课时精练 一、向量数量积的运算律 二、向量的模的计算 三、向量的夹角与垂直 课堂达标 内容索引 向量数量积的运算律 一 探究 对于向量a，b，c，(a＋b)·c＝a·c＋b·c成立吗？ 提示 成立. 即|a＋b|cos θe＝|a|cos θ1e＋|b|cos θ2e. 整理，得(|a＋b|cos θ－|a|cos θ1－|b|·cos θ2)e＝0 ， 所以|a＋b|cos θ－|a|cos θ1－|b|cos θ2＝0， 即|a＋b|cos θ＝|a|cos θ1＋|b|cos θ2， 所以|a＋b||c|cos θ＝|a||c|cos θ1＋|b||c|·cos θ2. 因此(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1.对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 知识梳理 2.平面向量数量积的运算性质 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝_____ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝_____ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝_____ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝_____ _____ a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 a2＋b2＋c2＋2a·b＋ 2b·c＋2c·a 温馨提示 (1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)(a·b)c和a(b·c)不一定相等. 例1 √ (1)(多选)如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有 √ 由正六边形的性质知OF⊥AE， C中，设正六边形的边长为1， (2)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，向量a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝_____. 因为单位向量e1，e2的夹角为120°， 且a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2， 所以a·b＝(－e1＋2e2)·(2e1＋e2) ＝－2＋3×1×1×cos 120°＋2 1.运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，求解时要灵活运用数量积的运算律. 2.若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算. 思维升华 (链接教材P21例12)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，b方向的单位向量为e.求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值. 训练1 a·b＝|a||b|cos θ ＝5×4·cos 120°＝－10； (a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2 ＝|a|2－|a||b|·cos 120°－2|b|2 ＝25－(－10)－2×42＝3. 向量的模的计算 二 例2 √ (链接教材P23T11)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝ ∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0. 思维升华 1.利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝|a|2是计算的依据. 2.根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化. 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，则|a－4b|＝ 训练2 √ ∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2 ＝22－8×2×1·cos 60°＋16×12＝12， 向量的夹角与垂直 三 例3 A.120° B.60° C.30° D.45° √ 角度1 两向量的夹角 设a与b的夹角为θ， 又0°≤θ≤180°，故θ＝45°. 例4 (1)(多选)若向量a，b满足|b|＝1，且(a＋b)⊥b，(a＋2b)⊥a，则下列命题正确的是 角度2 利用数量积解决向量的垂直问题 √ √ 由(a＋b)⊥b得a·b＋b2＝0，即a·b＋1＝0，所以a·b＝－1，故A正确； 由(a＋2b)⊥a得2a·b＋a2＝0，即a2＝2， 思维升华 1.求向量夹角的基本步骤 2.求向量的夹角，还可以结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解. 3.解决与向量有关的垂直问题 ... ...
