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课件网) B·九年级上册 1.3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 第一章 特殊平行四边形 1．掌握正方形的判定方法．（重点） 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .(难点) 学习目标 问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. O 导入新课 问题2：你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 三个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 正方形判定的定理 动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DC∥AB , BC∥AD ,得四边形ABCD. A M N B D C 问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？ 讲授新课 想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？ （1） （2） （3） （4） 菱形 问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 1.对角线相等的菱形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 定理 正方形判定的两条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 (1) (2) 一个直角 对角线相等 一组邻边相等 对角线垂直 例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 正方形判定定理的应用 典例精析 F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形； 45° 45° F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 例2：已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形. 证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G. ∵DF⊥AC , DE⊥BC , ∴∠DFC=∠DEC=90°. 又∠C=90°, ∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）. ∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB. ∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF. ∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. C E B A F D G 例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, B A C B O E H G F ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. B A C B O E H G F 做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 中点四边形 总结归纳 常见中点四边形比较 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C. ... ...
