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课件网) 24.1.2 垂直于弦的直径 人教版九年级上册 第二十四章 圆 教学目标 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。 重点：垂径定理及应用。 难点：垂径定理的证明。 新知导入 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 新知讲解 你能证明刚才的结论吗？ · O A D E C B 如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB. 在△OAB中， ∵OA=OB, ∴ △OAB是等腰三角形 而OE⊥AB ∴AE=EB 即CD是AB的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点B,因此⊙O关于直线CD对称。 新知讲解 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 · O A D E C B 【提问】根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？ 线段： AE=BE ⌒ ⌒ 即直径CD平分弦AB，并且平分AB,ACB ⌒ ⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ 新知讲解 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 符号语言： ∵ ① CD是直径， ② CD⊥AB ∴ ③AE=BE，④AC=BC，⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A E C D B 垂径定理 新知讲解 平分弦的直径垂直于这条弦吗？ 情况一：弦是直径 情况二：弦不是直径 O C D A B · O A E C B D 利用图形轴对称的性质，可以证明情况二成立 思考 新知讲解 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ ① CD是直径 ② AE=BE且AB不是直径 符号语言： ∴ ③ CD⊥AB， ④AC=BC，⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O C D A B E 垂径定理的推论 新知讲解 1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 【解题关键】 将实际问题转化为几何问题。 新知讲解 解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 37 18.5 R R-7.23 在RT△ADO中，由勾股定理得 = 解得R≈27.3m 思路：通过垂径定理，构造直角三角形（半径半弦弦心距 ），结合勾股定理，建立方程。 新知讲解 半径 半弦 弦心距 在直角三角形中，由勾股定理得：= 弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）． 半径、半弦、弦心距之间的关系 跟踪练习 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，求⊙O的半径． A B . O E 3 4 解： 在Rt △ AOE 中 , ,(垂径定理） 过圆心O 作OE⊥AB于E， 课堂练习 1．如图是一个圆弧形门拱，拱高 ，跨度 ，那么这个门拱的半径为（ ） A.2m B.2.5m C.3m D.5m 【答案】B 【详解】 设这个门拱的半径为r，则OB=r 1， ∵CD=4m，AB⊥CD， ∴BC= CD=2m， 在Rt△BOC中， ∵BC +OB =OC ,即2 +(r 1) =r ，解得r=2.5m. 课堂练习 2．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（ ） A.4m B.5m C.6m D.8m 【答案】D 【详解】 连接OA， ∵桥拱半径OC为5m， ∴OA=5m， ∵CD=8m， ∴OD=8 5=3(m)， ∴AD= (m) ∴AB=2AD=2×4=8(m) 故选D. 课堂练习 3．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（ ）． A. B.2 C.2 D.2 解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA， ∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4， ∴OH=OP=2 ∵在Rt△OAH中，OA=3， ∴ ∴AB=2AH=2 H ... ...
