2.3.2 一元二次不等式的应用 课程标准 学习目标 （1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式 的过程, 了解一元二次不等式的现实意义。能 （1）掌握一元二次不等式恒成立问题; 借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能 （2）掌握一元二次不等式有解问题； 用集合表示一元二次不等式的解集 （3）掌握一元二次不等式的实际应用. （2）借助一元二次函数的图象, 了解一元二次 不等式与相应函数、方程的联系。 知识点 01 一元二次不等式 1 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以 > 0为例) 判别式 2 > 0 = 0 < 0 = ― 4 二次函数 = 2 + + 的图象 有两个相异实数根 一元二次方程 1 , 2 有两个相等实数根 2 + + = 0的根 ― ± 2 ― 4 没有实数根 = = = ―2 1 2 2 ( 1 < 2) 一元二次不等式 2 + + > 0 的解 { | < 1或 > 2} { | ≠ ― 2 } 集 一元二次不等式 2 + + < 0的解 { | 1 < < 2} 集 2 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是 （1）理解题意，分享清楚量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式得到实际问题的解. 知识点 02 恒成立问题和存在性问题 1 恒成立问题 ① ∈ , ( ) < 恒成立，则 ( ) < ； ② ∈ , ( ) > 恒成立，则 ( ) > ； ③ ∈ , ( ) < ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0； ④ ∈ , ( ) > ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0. 存在性问题 ① 0 ∈ ，使得 ( 0) < 成立，则 ( ) < ； ② 0 ∈ ，使得 ( 0) > 成立，则 ( ) > ； ③ 0 ∈ ，使得 ( 0) < ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0； ④ 0 ∈ ，使得 ( 0) > ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0。 【即学即练 2】若不等式2 2 + ― 38 < 0的解集为 R，则实数 的取值范围是（ ） A．( ―∞, ― 3) ∪ [0, + ∞) B．( ―3,0) C．( ―3,0] D．( ―∞,0] 【题型一：一元二次不等式的实际生活中的应用】 例 1．一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 （单位：辆）与 创造的价值 （单位：元）之间有如下的关系： = ―2 2 +220 .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创收 6000 元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 变式 1-1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提 高 1 元，日销售量将减少 2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的 销售收入.则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是（ ） A．{ |10 ≤ < 16 } B．{ |12 ≤ < 18 } C．{ |15 < < 20 } D．{ |10 ≤ < 20 } 变式 1-2．某地每年消耗木材约 20 万立方米，每立方米售价 480 元，为了减少木材消耗，决定按 %征收木 5 材税，这样，每年的木材消耗量减少2 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于 180 万 元，t 的取值范围是（ ） A．[1,3] B．[2,4] C．[3,5] D．[4,6] 变式 1-3．通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．2022年，该种玻璃售价为 25欧元/平 方米，销售量为80万平方米． (1)据市场调查，售价每提高1欧元/平方米，销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元， 试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米 (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2023年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高 价格到 欧元/平方米（其中 > 25 5），其中投入3( 2 ― 600) 万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作 为固定宣传费用，投入2 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量 （单位：万平方米）至少 达到多 ... ...
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