第21讲 画角的和、差与角的平分线 余角、补角（七大题型） 学习目标 1、了解角的和、差关系，并学会计算； 2. 学会角的平分线的定义、作图及有关计算； 3、掌握余角、补角的概念及计算。 1.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 2.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 角平分线的画法：①用量角器作角平分线 例 5 如 图 4 - 2 - 1 9 , 已 知 ∠ABC, 画出它的平分线. 解如图4 - 2 - 20, ①用量角器量得∠ABC=48°,所 以 ② 以B 为顶点，射线 BA为一边，在∠ABC的内部用量角器画∠ABM=24. BM 就是所要画的∠ABC的平分线. ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 3、余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【即学即练1】如图，点O在直线上，射线平分，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【即学即练2】已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【即学即练3】如图，为内一条射线，下列条件中能确定平分的是（ ） A． B． C． D． 【即学即练4】已知，则的余角的大小是 ． 【即学即练5】一个角的余角比它的补角的还多，求这个角． 题型1：尺规作图 【典例1】．根据图形，写出OC与∠AOB的位置关系，并用数学符号写出∠AOB与∠COB的大小关系． 【典例2】．已知射线BC，∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠β（不写作法，保留作图痕迹）． 【典例3】．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【典例4】．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母） 题型2：角平分线有关的计算 【典例5】．如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【典例6】．如图，平分，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【典例7】．如图，点O在直线上，射线平分，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【典例8】．如图所示，点在直线上，射线平分，下列说法中不正确的是（ ） A．是钝角 B．是锐角 C．是直角 D．是平角 【典例9】．如图，为内一条射线，下列条件中能确定平分的是（ ） A． B． C． D． 【典例10】．如图,已知∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC,∠BOD=20°,则∠AOB等于( ). A．50° B．40° C．30° D．20° 题型3：角的n等 ... ...
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