14.3 因式分解-十字相乘法 讲义 -2024-2025学年人教版数学八年级上册

因式分解—十字相乘法讲义 一、十字相乘法的原理 对于二次三项式（） 1.假设它可以分解为的形式，将展开可得： 2.对比和，可以得到： ，即二次项系数是两个因数和的乘积。 ，一次项系数是两个因数交叉相乘再相加的结果。 ，常数项是两个因数和的乘积。 二、十字相乘法的步骤 （一）、以二次三项式为例 分解二次项系数和常数项 对于，二次项系数，可分解为；常数项，可分解为。 十字相乘并相加 写成如下形式： 1 2 1 3 1×2+1×3=5 计算交叉相乘的和：，正好等于一次项系数。 写出因式分解的结果 所以。 （二）、再看二次三项式 分解二次项系数和常数项 二次项系数，可分解为；常数项，可分解为。 十字相乘并相加 写成如下形式： 1 -3 2 -1 1×（-1）+2×（-3）=-7 计算交叉相乘的和：，等于一次项系数。 写出因式分解的结果 所以。 四、注意事项 （一）、符号问题 1.当常数项为正数时，分解的两个因数同号（同为正或同为负），且这两个因数的符号与一次项系数的符号相同。 例如，对于，常数项，一次项系数是正数，所以分解为。 2.当常数项为负数时，分解的两个因数异号，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。 例如，对于，常数项，一次项系数是负数，绝对值较大的因数是负数，所以分解为。 、系数问题 1.当二次项系数不为时，要仔细分解二次项系数和常数项，尝试不同的组合，直到找到满足十字相乘后相加等于一次项系数的组合。 例如，对于，二次项系数，常数项或等多种分解方式。经过尝试，，其中。 2、十字相乘法的典型例题： （1）二次项系数为1的二次三项式 例1：分解因式 解：分析：对于，二次项系数为，常数项，一次项系数。 分解过程： 例2：分解因式 解：分析：二次项系数是，常数项，一次项系数。 分解过程： 例3：分解因式 解：分析：二次项系数为，常数项，一次项系数 。 分解过程： （2）二次项系数不为1的二次三项式 例4：分解因式 解：分析：二次项系数，常数项，尝试十字相乘，，满足一次项系数。 分解过程： 例5：分解因式 解：分析：二次项系数，常数项，经尝试，符合一次项系数。 分解过程： 例6：分解因式 解：分析：二次项系数，常数项，通过计算，与一次项系数相等。 分解过程： （3）含字母系数的二次三项式 例7：分解因式 解：分析：二次项系数为，常数项可分解为，一次项系数恰好是与的和。 分解过程： 例8：分解因式 解：分析：二次项系数，常数项，当，令，则可分解。 分解过程： （4）较复杂的式子 例9：分解因式 解：分析：可将看成，那么式子就变成了关于的二次三项式，即。常数项，一次项系数。 分解过程： 例10：分解因式 解：分析：把看成一个整体，设，则原式变为。对于，常数项，一次项系数。 分解过程： 练习 1．因式分解（十字相乘-简单二次三项式（二次项系数为）） 2. 因式分解（十字相乘-二次项系数不为的二次三项式） 3. 因式分解（十字相乘-含参数的二次三项式） （） （） 4. 因式分解（十字相乘-复杂形式（可看作二次三项式）） ... ...