2024 学年第一学期九年级数学竞赛测试卷 一、选择题 (本题有 5 小题, 每小题 7 分, 共 35 分) 1. 已知 ,则 的值是 ( ) A. B. C. D. 2. 如图所示的是某物体的三视图, 主视图是上底为 6 , 下底为 12 , 高为 4 的梯形, 则此物体的表面积是( ▲ ) A. B. C. D. (第 2 题) (第 4 题) 3. 已知 ,则 的值是( ) A. 9 B. 10 C. 81 D. 100 4. 如图,矩形 中, 是 中点, 是 中点, 是 上一点,连结 交于点 ,当 时, 的值( ) A. 1 B. C. D. 5. 如图,抛物线过 三点,过点 的直线 (不与 轴重合)交抛物线于点 ,点 交 于点 ,连结 ,当 取到最小值时, 的值是( ▲ ) A. B. C. D. (第 5 题) (第 6 题) (第 10 题) 二、填空题 (本题有 5 小题, 每小题 7 分, 共 35 分) 6.如图,正五边形 对角线围成五边形 ,则五边形 与五边形 的面积之比是_____. 7. 已知 为实数,且满足 , 则 的值为_____. 8. 为抛物线 的顶点, 为坐标原点, 是抛物线上一点,当 的重心 也在该抛物线上时,点 的横坐标是_____. 9. 已知 为实数,则 的最小值为_____. 10. 如图,四边形 中, 平分 ,当 , 时, 的长为_____. 三、解答题 (本题 4 小题, 每小题 20 分, 共 80 分) 11. 已知非零实数 满足: . 关于 的二次函数是 . 求证: (1)二次函数图象与 轴必有两个交点； (2)与 轴的两交点中至少有一个交点的横坐标大于-1 小于 0 . 12. 如图,已知 分别是射线 上的点, 为 内一点,使得 是以 为底边的等腰三角形, 为 垂心,连结 ,设 ,用 的代数式来表示 . (垂心为三角形三条高线交点) 13. 已知 2024 个非零实数 满足 , . 求 的值. 14. 如图,已知 ,点 ,点 是 边上的点,且满足 . 求证: 过 三点的圆必定经过一定点. 2024 学年第一学期九年级数学学科竞赛参考答案 一、选择题 (每小题 7 分, 共 35 分) 1 2 3 4 5 B B D B C 二、填空题 (每小题 7 分, 共 35 分) 6 7 8 9 10 0 或 3 注: 有两个答案的只答对一个给 4 分 三、解答题 (每小题 20 分, 共 80 分) 11. 证明: 1) 二次函数图象与 轴必有两个交点; (10 分) 2) 当 时, ; 当 时, 与 轴的两交点中至少有一个交点的横坐标大于-1 小于 0. (20 分) 12. 解: 如图,连结 并延长,交 于 ,交 于 ,连结 为 垂心 又 是以 为底边的等腰三角形 是 中点, 又 又 又 (15 分) 不妨设 ,则 注:其它方法酌情给分；直接使用垂心性质不扣分. 13. 解: 记 ,则可知 故由比差法或不等式可得到: (10 分) 所以 (15)由于 ,故 所以 ( 20 分) 14. 证明: 如图,注意到由 内心 向两边作垂线,记垂足为 ,由切线长定理知 (5 分)不妨设 ,则 ,故 (10 分) 可证明 ,故 ,从而 (15 分) 进而 ,故 四点共圆,即有: 过 三点的圆必定经过三角形 内心 . (20 分) 注:1.只找出过内心给 5 分；2.其它方法酌情给分；3.计算类证明中用了三弦定理或是构造类证明中用了帕斯卡定理而未给予证明的, 如果使用正确, 一律不扣分. ... ...
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