2024-2025学年人教版数学九年级上册同步能力提升讲义：24.4 弧长和扇形面积（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 24.4 弧长和扇形面积 ■重点01 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR． （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． 【典例1】　（2024秋 四平期中）如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图，连接， ， ， 是的中点， ， ， ， 的长为． 故选：． 【典例2】　（2024秋 启东市期中）如图，已知，，为上的三点，且，．点从点出发，沿着逆时针方向运动到点，连接与弦相交于点，当△为直角三角形时，弧的长为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【解答】解：如图所示，当时，连接，， ，， ，点为的中点， ， 、、三点共线， ， △是等边三角形， ，， ， 弧的长为； 如图所示，当时，则， 为直径， 弧的长为； 综上所述，弧的长为或， 故选：． 【典例3】　（2024秋 海淀区校级期中）如图，的半径为12，点、是圆上的两点，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：的长为． 故选：． 【典例4】　（2024秋 梁溪区校级月考）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：． 故选：． 弧长公式涉及三个量，分别为弧长l，半径R，圆心角n．对于这三个量，可以借助弧长公式知二求一． ■重点02 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2． （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）． 【典例1】　（2023秋 赣县区期末） 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解： ， 故选：． 【典例2】　（2024秋 大庆期中）如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 　　． 【答案】． 【解答】解：设扇形所在圆的半径为， 扇形的圆心角为，面积是， ， （负值已舍去）， 这个扇形的弧长． 故答案为：． 【典例3】　（2024秋 南京期中）已知扇形的圆心角为，半径是10，则扇形的面积为 　　． 【答案】． 【解答】解：扇形的圆心角为，半径是10，则扇形的面积为， 故答案为：． 【典例4】　（2024秋 乐清市期中）扇形的圆心角是．它的半径是6，则扇形的面积是　　（结果保留． 【解答】解：， 故答案为． （1）如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积为． （2）半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为． ■难点 圆柱、圆锥的有关计算 1．圆柱 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高． （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积． （4）圆柱的体积＝底面积×高． 2．圆锥 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝ 2πr l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高． 【典例1】　（2023秋 滨湖区期末）用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于　　 A．3 B．5 C． D． 【解答】解：设底面半径为，则底面周长，半圆的弧长， ． 故选 ... ...