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课件网) 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 如果一个平面图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形. 折痕所在的这条直线叫做_____. 对称轴 折叠 互相重合 把一个图形沿着某一条直线 ,如果它能够 ,那么就说这两个图形关于这条直 线（成轴）对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做 . A′ A B C B′ C′ 折叠 与另一个图形重合 对称点 1.了解轴对称及线段垂直平分线的性质和判定. 2.会应用线段垂直平分线的性质和判定解题. 3.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴. 4.作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图. 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C P2A ____ P2B 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 线段垂直平分线的性质 知识点 1 探究发现 = = = 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( ) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm C 解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm). 典例解析 利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 方法归纳： A B C 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. D E K 已知：直线AB和AB外一点C . 求作：AB的垂线，使它经过点C . （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁. （2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E. （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. F （3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. 作法： 典例解析 （1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ （2）为什么要以大于 的长为半径作弧？ （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ 想一想： 例3 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC. B A C M N M' N' P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 解析： 典例解析 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB. 同理 PB=PC. ∴PA=PB=PC. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？ 例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. 解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答． (2)先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BF，再结合（1）即可解答． 证明：(1)∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠ECF. ∵E是CD的中点， ∴DE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE， ∴FC＝AD. ... ...
