3.1.2椭圆的简单几何性质 教案（2课时打包）

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2椭圆的简单几何性质 第1课时 1.通过实例，掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2.通过探究，掌握的几何意义以及的相互关系； 3.通过对椭圆的几何性质的研究，初步学习利用曲线方程研究曲线性质的方法. 重点：椭圆的几何性质及其探究过程. 难点：利用曲线方程研究曲线的几何性质的基本方法，离心率的几何意义. 创设情境 情境：下图是中国国家大剧院的照片,为什么国家大剧院最终会选择了半椭球形设计呢 其根本原因是椭球形非常美观,这源于椭圆的美!那么椭圆到底美在何处 它又具有哪些特性 师生活动：通过观察椭圆的形状，师生讨论，明确本节课要研究的范围、对称性、顶点、扁平程度.教师给出研究的基本思路是数形结合，先“形”后“数”，即先观察椭圆的形状特征并提出猜想，再利用椭圆的标准方程进行推理验证. 设计意图：通过实例，明确本节课的研究问题和研究方法. （二）探究新知 任务1：椭圆的简单几何性质. 探究1：观察椭圆的形状,你能从图上看出它的范围吗 师生活动：教师给出探究问题，学生思考，教师评价. 答：通过观察椭圆的形状,得出椭圆上点的横、纵坐标的取值范围是,,即椭圆位于直线和围成的矩形框里.如下图所示： 思考：你能利用方程给出椭圆范围的证明吗 答：由方程，可知 ， 所以,椭圆上点的横坐标都适合不等式，即. 同理有，即. 这说明椭圆位于直线 和围成的矩形框里. 设计意图：明确研究椭圆的范围的实质是利用椭圆的方程来确定椭圆上点的横，纵坐标的取值范围，让学生初步掌握怎样用曲线方程来研究曲线的范围. 探究2：观察椭圆的形状，它具有怎样的对称性 师生活动：教师引导学生观察椭圆的形状，启发学生思考. 答：它既是轴对称图形，又是中心对称图形. 思考：你能利用方程给出椭圆对称性的证明吗 答：在椭圆的标准方程中，以代换，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称. 同理，以代换，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.以代 ，以代换，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称. 总结：椭圆关于轴、轴都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 设计意图：明确研究椭圆的对称性的实质是研究椭圆上点的对称，让学生知道怎样通过曲线方程判断曲线是否关于原点或坐标轴对称. 探究3：观察下图,你认为椭圆上哪些点比较特殊 为什么 师生活动：师生讨论何为特殊点，即椭圆与坐标轴的交点. 答：. 思考：如何得到这些点的坐标 答：分别将与代入方程，得到椭圆与坐标轴的四个交点， ，. 总结：椭圆的顶点的定义： 椭圆与它的对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标：，(a，0)，. 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 设计意图：明确椭圆的顶点的含义，让学生知道怎样通过曲线方程研究曲线的顶点. 探究4：在同一坐标系中作出和的图象(如图所示)，从图中可以发现两个椭圆的扁平程度不一，那么椭圆的扁平程度该如何刻画呢 师生活动：学生交流讨论，得出就结论后，教师请同学进行回答. 思考：在a不变的情况下，随着的变化椭圆的形状如何变化？ 答：不变，越小，椭圆越扁；越大，椭圆越圆. 思考：上述问题中，能不能用和刻画椭圆的扁圆程度？为什么？ 答：可以，因为，越接近，则越小，椭圆越扁；反之越大，椭圆越圆. 思考：当的值变化时,椭圆的形状如何变化 为什么？ 答：因为，当越大，即越小时，椭圆越扁；当越小，即越大时，椭圆越圆；当不变，即不变时，椭圆的扁圆程度不变. 总结：(1)椭圆的扁平程度与，或与，有关 ... ...