2024秋季九年级（上）期末压轴解答题专项训练 1．（20-21九年级上·广东潮州·期末）如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)求⊙O的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径． （3）延长、相交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ， 为的切线； （2）解：在中，，， 根据勾股定理得：， 中小学教育资源及组卷应用平台 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3． （3）解：延长、相交于点， 与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 2．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，点A 在反比例函数的图象上，轴于点B，， ． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线垂直平分线段，交于点D，交y轴于点C，交x轴于点E，求线段的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由题意可得点A的坐标为，代入，求出的值即可； （2）连接，过点A作于点，由直线为线段的垂直平分线可得，设线段的长为，则，，由勾股定理得，即，求出的值即可． 【详解】（1）解：轴， ， ∵，， 点A的坐标为， 将代入， 得， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，过点A作于点，如图所示： ∵直线为线段的垂直平分线， ， 设线段的长为，则， 点A的坐标为， ，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， 线段的长为． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（23-24九年级上·广东汕尾·期末）综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明． （2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由 平行线的性质可得． （3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得． 【详解】（1）证明：∵以为直径的交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （3）解：连接，如图， ∵，且以为直径 ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定． 4．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，菱形中，，.点E为对角线（不含A，C点）上任意一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接； (1)证明：； (2)设，请直接写出y的最小值. 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得是等边三角形，然后可得，则当F、G、E、B四点共线时，y的值最小，进而可根据等腰 ... ...
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