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课件网) 1.3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线 1. 理解线段垂直平分线的概念； 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 2. 能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点） 为了方便居民的生活，政府计划在三个住宅小区A、B、C之间新建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 已知点A与点A′关于直线 l 对称，如果线段AA′沿直线 l 折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线 l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′. ● ● l A A′ D 2 1 (A) 我们把垂直且平分一条线段的直线 叫作这条线段的垂直平分线. 作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连接 PA，PB； 量一量 PA，PB 的长，你能发现什么？ A B M N C P 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. PA=PB 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA=PB. 证明： ∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC，PC=PC， ∴ △PCA≌△PBC（SAS）. ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）. N M B A P C 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端点的距离相等． 表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP. 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 逆 命 题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 条件：点到线段两端点距离相等； 结论：点在线段垂直平分线上． 表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 已知：线段 AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． A B C P 证明一：过点P作已知线段 AB 的垂线 PC，PA=PB， PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）． ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上． 证法二：取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线. ∵AP = BP，PC = PC. AC = CB， ∴△APC ≌△BPC（SSS）. ∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）. 又∵∠PCA +∠PCB = 180°， ∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB. ∴ 点P 在 AB 的垂直平分线上. A B C P 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC. A B C O 证明：∵ AB = AC. ∴ 点A在线段 BC 的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. 1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( ) A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 D 2. 如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_____. A B C D E 8 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( ) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm C 2.已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P.则下列结论一定成立的个数为( ) ①PA=PB=PC. ②点P在AC的垂直平分线上. ③∠BPC=90°+∠BAC. ④∠BAP=∠CAP. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 3.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC. 证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4， ∴EB=EC,且∠1+∠ ... ...
