16.1二次根式 课件(共34张PPT)2024-2025学年人教版初中数学八年级下册

(课件网) 16.1二次根式 第十六章 二次根式 4.探究二次根式的性质，理解其意义，并会运用二次根式的性质进行化简计算； 素养目标 1.理解二次根式的概念； 2.探究二次根式有意义的条件； 3.理解二次根式的双重非负性； 重点 重点 5.在探究、讨论的过程中学会由特殊到一般地归纳方法. 重难点 知识回顾 1.什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根，用 （a ≥ 0）表示. 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平方根记作 （a≥0） ． 新知导入 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为　 ，面积为S的正方形的边长为　 . (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为　 　 m. S 130 新知导入 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位:s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h = 5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_____． h = 5t2 你发现这些结果有哪些共同特征？ 探究新知 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． 【问题1】这些式子分别表示什么意义？ 分别表示65，S，3， 的算术平方根． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 【问题2 】这些式子有什么共同特征？ 归纳总结 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a ≥ 0 【注意】1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”． 根号a 二次根号 被开方数 练一练 C 探究新知 不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根. 【问题1】是否存在 ，为什么呢？ 【问题2】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 解：由 x-2 ≥ 0，得 x ≥ 2. 当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义. 归纳总结 只有在满足条件 a ≥ 0 时才叫二次根式．即 a ≥ 0 是 为二次根式的前提条件． 1．二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立，即： 有意义 a ≥ 0． 2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成立，即： 无意义 a＜0． 二次根式有意义的条件 练一练 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）由题意得 x - 1＞0， ∴x＞1. 解：（2）由 3+x ≥ 0，得，x ≥ -3. ∵分母不能等于零， ∴ x-1 ≠ 0，∴ x ≠ 1. ∴ x ≥ -3 且 x ≠ 1. 归纳总结 【总结】要使二次根式在实数范围内有意义， 即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可. 若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 探究新知 【问题1】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 解：由 x2 ≥ 0，得 x 是任意实数， ∴ 当 x 为任意实数时， 都有意义. 由 x3 ≥ 0，得 x ≥ 0， ∴ 当 x ≥ 0 时， 有意义. 探究新知 【问题2】二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 当 a>0 的时候， 表示 a 的算术平方根，则 >0； 当 a=0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则 = 0； 当a≥0时， 是非负数，即 ≥ 0. 归纳总结 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知 a ≥ 0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥ 0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性 02 = 0 探究新知 根据算术平方根及平方的意义填空，你发 ... ...