中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学选择性必修第三册 专题强化练5 利用导数与辅助函数解决有关不等式问题 1.(2024河北保定月考)若函数f(x)的定义域为R,且f '(x)>1,则不等式f(x)-f(2)>x-2的解集为( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(2,+∞) D.(-∞,2) 2.(多选题)(2024重庆南开中学开学考试)已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),其导函数是f'(x),且满足ln x·f'(x)+·f(x)>0,则下列结论正确的是( ) A.f>0 B.f<0 C.f(e)>0 D. f(e)<0 3.(2024海南文昌中学月考)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, f '(x),g'(x)为其导函数,当x<0时, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,且g(-3)=0,则使不等式f(x)g(x)<0成立的x的取值范围是( ) A.(-∞,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,3) D.(0,3)∪(6,+∞) 4.(2024广东深圳适应性测试)已知a=1-,其中e是自然对数的底数,则(注:e≈2.718,ln 2≈0.693)( ) A.b
1,则f(x)>e-x+1的解集为( ) A.{x|x>1} B.{x|x>e} C.{x|x<0} D.{x|x>0} 6.(2023湖北武汉洪山高级中学月考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)·x0的解集为 . 7.已知偶函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),当x>0时, f(x)+xf'(x)+>0, f(5)=,则不等式f(x)>的解集为 . 8.(2024河南开封摸底考试)实数x,y满足ex-2≤(x-3y-1)e3y,则-y的值为 . 9.已知函数f(x)=x2-2kx+2ln x(k为正实数). (1)当k=时,讨论函数f(x)的单调性; (2)若H=f(x1)-f(x2)≥H(x1,x2为f'(x)的两个零点,且x10,所以g(x)在R上单调递增. 由f(x)-f(2)>x-2,得f(x)-x>f(2)-2,即g(x)>g(2),得x>2.故选C. 2.AC 设g(x)=f(x)·ln x,x∈(0,+∞), 则g'(x)=ln x·f'(x)+·f(x)>0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增. 又g(e)=f(e)·ln e=f(e),g=f ·ln=-f ,g(1)=f(1)·ln 1=0,e>1>, ∴g(e)>g(1)>g,得f(e)>0,g=-f <0,则f>0.故选AC. B 因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)= -f(x),g(-x)=g(x), 令h(x)=f(x)·g(x), 则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x), 故h(x)=f(x)·g(x)为R上的奇函数, 易得h'(x)=f '(x)·g(x)+f(x)·g'(x), 则当x<0时,h'(x)<0, 所以h(x)=f(x)·g(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以奇函数h(x)在(0,+∞)上也单调递减, 又g(-3)=0,所以g(3)=0,所以h(-3)=h(3)=0, 所以当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.故选B. 4.C 令f(x)=,则f'(x)=, 令f'(x)=0,得x=1, 易得f(x)=在(1,+∞)上单调递减, ∴b==f(4ln 2). ∵4ln 2≈4×0.693=2.772>e,∴b>c. ∵c=, ∴c-a=ln (ln ). 令g(x)=ln x-(x≥1), 则g'(x)=≥0, ∴g(x)在[1,+∞)上单调递增, ∴g()=ln =ln >g(1)=0,∴c>a. 综上,b>c>a.故选C. 5.D 因为f(x)+f '(x)>1,所以f(x)+f '(x)-1>0,所以exf(x)+exf '(x)-ex>0, 构造函数F(x)=ex[f(x)-1],则F'(x)=exf(x)+exf '(x)-ex=ex[f(x)+f '(x)-1]>0, 所以F(x)在R上单调递增,因为f(0)=2,所以F(0)=1, 所以不等式f(x)>e-x+1 exf(x)-ex>1 F(x)>F(0), 因为F(x)在R上单调递增,所以x>0,所以不等式f(x)>e-x+1的解集为{x|x>0},故选D. 6.答案 (0,3) 解析 设g(x)=, 则g'(x)=,因为f'(x)·x0,即g(x)>g(3),所以00时,g'(x)>0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增 ... ... 
