2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练7　利用导数解决函数的零点问题

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学选择性必修第三册 专题强化练7　利用导数解决函数的零点问题 (2024四川宜宾兴文二中模拟)已知函数f(x)= (e是自然对数的底数)在定义域R上有三个零点,则实数m的取值范围是(　　) A.(e,+∞)　　　　B.(e,5] C.(e,5)　　　　D.[e,5] 2.(2023福建漳州期末)已知函数f(x)=2x+ln x+1-a和函数g(x)=x-有相同的零点x0,则ln =(　　) A.2　　　　B.-e　　　　C.-4　　　　D.e2 3.(2024广东深圳开学考试)已知函数f(x)=x2-ax+1-e-x(a∈R). (1)讨论函数g(x)=exf(x)的单调性; (2)当a>1时,求函数f(x)的零点个数. 4.已知函数f(x)=x2ex,其中e=2.718 28…为自然对数的底数. (1)求函数f(x)在[-5,-1]上的最值; (2)若函数g(x)=-aln x,求证:当a∈(0,2e)时,函数g(x)无零点. 5.(2023江苏南京第一中学质检)已知函数f(x)=+a. (1)试讨论函数f(x)的零点个数; (2)设g(x)=x2-f(x),x1,x2为函数g(x)的两个零点,证明:x1x2<1. 答案与分层梯度式解析 1.B　当x≤时,令10x-m=0,得x=; 当x>时,令xex-2mx+m=0,得m=, 设g(x)=,则g'(x)=, 当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴当x>时,g(x)min=g(1)=e, ∵f(x)在R上有三个零点,∴x=为f(x)的一个零点,且m=有两个不同的解, ∴解得e0), 则h'(x)=(1+2x)e2x-. 令m(x)=e2x-,易知m(x)在(0,+∞)上单调递增, 又m-4<0,m(1)=e2-1>0, ∴m(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点t,且t∈,即2t=-ln t. ∴当x∈(0,t)时,m(x)<0,即h'(x)<0; 当x∈(t,+∞)时,m(x)>0,即h'(x)>0, ∴h(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增, ∴h(x)min=h(t)=te2t-2t-ln t-1=1+ln t-ln t-1=0, 又x0-2x0-ln x0-1=0,∴t=x0, ∴ln =e2tln t2=2e2tln t=·(-2t)=-4.故选C. 3.解析　(1)∵g(x)=exf(x)=ex(x2-ax+1)-1, ∴g'(x)=ex(x2-ax+1+2x-a)=ex(x+1)(x+1-a). ①若a<0,则a-1<-1, 当x∈(-∞,a-1),(-1,+∞)时,g'(x)>0, 当x∈(a-1,-1)时,g'(x)<0, ∴g(x)在(-∞,a-1),(-1,+∞)上单调递增,在(a-1,-1)上单调递减. ②若a=0,则a-1=-1,此时g'(x)≥0恒成立, ∴g(x)在R上单调递增. ③若a>0,则a-1>-1, 当x∈(-∞,-1),(a-1,+∞)时,g'(x)>0, 当x∈(-1,a-1)时,g'(x)<0, ∴g(x)在(-∞,-1),(a-1,+∞)上单调递增,在(-1,a-1)上单调递减. 综上,当a<0时,g(x)在(-∞,a-1),(-1,+∞)上单调递增,在(a-1,-1)上单调递减;当a=0时,g(x)在R上单调递增;当a>0时,g(x)在(-∞,-1),(a-1,+∞)上单调递增,在(-1,a-1)上单调递减. (2)∵ex>0,∴f(x)的零点就是函数g(x)的零点. 当a>1时,由(1)知g(x)在(-∞,-1),(a-1,+∞)上单调递增,在(-1,a-1)上单调递减. 易得g(-1)=-1>0, g(-a-1)=e-a-1(2a2+3a+2)-1. 令φ(a)=e-a-1(2a2+3a+2)-1,a>1, 则φ'(a)=-e-a-1(2a2+3a+2-4a-3)=-e-a-1(2a2-a-1)=-e-a-1(2a+1)(a-1), ∵a>1,∴φ'(a)<0,∴φ(a)在(1,+∞)上单调递减,∴g(-a-1)=φ(a)<φ(1)=-1<0, ∴存在x1∈(-a-1,-1),使得g(x1)=0, ∴g(x)在(-∞,-1)上有且仅有一个零点x1. 当x∈(-1,a-1)时,g(x)为减函数, ∵a-1>0,g(0)=0, ∴g(x)在(-1,a-1)上有且仅有一个零点x2=0. 当x∈(a-1,+∞)时,g(x)为增函数, ∵g(a-1)<0,g(a)=ea-1>0, ∴存在x3∈(a-1,a),使得g(x3)=0, ∴g(x)在(a-1,+∞)上有且仅有一个零点x3. 综上,当a>1时,函数g(x)有三个零点,即函数f(x)有三个零点. 4.解析　(1)由题可得, f'(x)=2xex+x2ex=x(x+2)ex, 故当x∈[-5,-2)时, f'(x)>0, f(x)单调递增; 当x∈(-2,-1]时, f'(x)<0, f(x)单调递减. 故f(x)max=f(-2)=, 又f(-5)=,所以f(x)min=, 故函数f(x)在[-5,-1]上的最大值为,最小值为. (2)证明:令g(x)=-aln x=0, 得x2ex-a(x+1)ln x=0, 令m(x)=ex- ... ...