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课件网) 22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数 第3课时 实物抛物线 创设情境 学习目标 1.能根据具体的问题情境建立数学模型,应用二次函数的知识求解,并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 2.学会从多个角度思考问题,逐步提高解决问题的能力. 3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程,会用转化和数形结合的思想解决实际问题. 请说出这个二次函数的解析式类型. x y x y x y (1)y=ax2 (2)y=ax2+k (3)y=a(x-h)2+k (4)y=ax2+bx+c O O O 如图,一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分,拱桥的跨度是4.9米,水面宽是4米时,拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时,拱顶离水面的高度怎样变化.你能想出办法来吗? 探究新知 建立函数模型 这是什么样的函数呢? 拱桥的纵截面是抛物线,所以应当是个二次函数. 你能想出办法来吗? 探究新知 利用二次函数解决实物抛物线问题 1 如图,一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分,拱桥的跨度是4.9米,水面宽是4米时,拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时,拱顶离水面的高度怎样变化.你能想出办法来吗? x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 因此 ,其中 |x|是水面宽度的一半,y是拱顶离水面高度的相反数,这样我们就可以了解到水面宽度变化时,拱顶离水面高度怎样变化. 由于拱桥的跨度为4.9米,因此自变量x的取值范围是: 现在你能求出水面宽3米时,拱顶离水面高多少米吗? 水面宽3m时 , 即 时, 因此拱顶离水面高1.125m 我们来比较一下 (0,0) (4,0) (2,2) (-2,-2) (2,-2) (0,0) (-2,0) (2,0) (0,2) (-4,0) (0,0) (-2,2) 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m. 水面下降1m时,水面宽度增加多少? (2,-2) (-2,-2) x y O 例1 解: 以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(-2,-2)代入解析式, 可得-2=a · (-2)2. x y O (2,-2) (-2,-2) 水面 水面下降一米,即此时y=-3. 如果以下降1 m后的水面为x轴,以抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗? y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 解: 依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(-2,1)代入解析式, 可得1=a · (-2)2+3. 你还有其他的方法吗? y O (2,0) (-2,0) x (0,2) 还可以以水面未下降时的水面为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么? 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 某公园要建造圆形喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外? 拓展提高 解:建立如图所示的坐标系, 根据题意得,A点坐标为(0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25). 数学化 设抛物线为y=a(x+h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=- (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理,点 D的坐标为(-2.5,0) . 不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外. ●B(1,2.25) (0,1.25) ● D o A x y ● C 课堂小结 归纳总结 构建脉络 实际问题 数学模型 转化 回归 (实物中的抛物线形问题) (二次函数的图象和性质) ... ...